Uma partícula de massa m está localizada sobre um eixo e experimenta uma energia potencial do tipo
Encontre o período de pequenas oscilações nas proximidades da posição de equilíbrio.
A derivada desta função é dada por
A)
B)
C)
D)
E)
A derivada desta função é dada por
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. Temos uma partícula de massa $ m $ que está se movendo ao longo de um eixo e sua energia potencial é dada por
onde $ a $ e $ b $ são constantes. Queremos encontrar o período das oscilações pequenas que a partícula faz perto da posição de equilíbrio. Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial, equilíbrio estático e movimentos oscilatórios simples.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a posição de equilíbrio $ x_0 $. A posição de equilíbrio ocorre onde a força resultante sobre a partícula é zero, ou seja, onde a derivada da energia potencial em relação a $ x $ é zero:
Resolvendo essa equação para $ x $:
Então, a posição de equilíbrio é $ x_0 = \frac{2a}{b} $.
Passo 3
Agora, para encontrar o período das oscilações pequenas, precisamos calcular a segunda derivada da energia potencial na posição de equilíbrio, que nos dá a “constante elástica” efetiva $ k $ para o movimento oscilatório:
Substituindo $ x_0 = \frac{2a}{b} $ na expressão acima:
Simplificando:
Então, $ k = \frac{b^{4}}{8 a^{3}} $.
Passo 4
O período $ T $ das oscilações pequenas é dado pela fórmula:
Substituindo $ k $ na equação:
Simplificando a raiz:
Portanto:
Resposta
A alternativa correta é:
E) $ T = \frac{4 \pi a}{b^{2}} \sqrt{2 m a} $