Uma partícula de massa m está localizada sobre um eixo e experimenta uma energia potencial do tipo
U(x)=ax^2-bx , onde a e b são constantes ã
Encontre o período de pequenas oscilações nas proximidades da posição de equilíbrio.
A derivada desta função é dada por
d Ud x=-2 ax^3+bx^2
A) T=4 pi ab^2 raiz2 m b
B) T=4 pi ab^2 raizm a
C) T=pi ab^2 raiz2 ma
D) T=pi ab^2 raizm a
E) T=4 pi ab^2 raiz2 m a

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. Temos uma partícula de massa $ m $ que está se movendo ao longo de um eixo e sua energia potencial é dada por
m
onde $ a $ e $ b $ são constantes. Queremos encontrar o período das oscilações pequenas que a partícula faz perto da posição de equilíbrio. Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial, equilíbrio estático e movimentos oscilatórios simples.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a posição de equilíbrio $ x_0 $. A posição de equilíbrio ocorre onde a força resultante sobre a partícula é zero, ou seja, onde a derivada da energia potencial em relação a $ x $ é zero:
x0
Resolvendo essa equação para $ x $:
x
Então, a posição de equilíbrio é $ x_0 = \frac{2a}{b} $.

Passo 3

Agora, para encontrar o período das oscilações pequenas, precisamos calcular a segunda derivada da energia potencial na posição de equilíbrio, que nos dá a “constante elástica” efetiva $ k $ para o movimento oscilatório:
k
Substituindo $ x_0 = \frac{2a}{b} $ na expressão acima:
d^2Udx^2 = 6ax^4 - 2bx^3
Simplificando:
x0 = 2ab
Então, $ k = \frac{b^{4}}{8 a^{3}} $.

Passo 4

O período $ T $ das oscilações pequenas é dado pela fórmula:
T
Substituindo $ k $ na equação:
T = 2pi raizmk
Simplificando a raiz:
k
Portanto:
T = 2pi raizmb^48 a^3 = 2pi raiz8 m a^3b^4 = 2pi cdot raiz8 m a^3b^2

Resposta

A alternativa correta é:
E) $ T = \frac{4 \pi a}{b^{2}} \sqrt{2 m a} $

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