Uma partícula de massa m cai sob ação da força gravitacional e de uma força de amortecimento f(v)=-k m v^{2} devido à resistência do ar.
a) Encontre a velocidade terminal v_{T} da partícula.
b) Usando a Segunda Lei de Newton, mostre que a distância \Delta y percorrida na queda quando a velocidade da partícula varia de v_{0} a uma dada velocidade v tem a forma
\Delta y\left(v_{0} \rightarrow v\right)=\frac{1}{2 k} \ln \left(\frac{v_{0}^{2}-v_{T}^{2}}{v^{2}-v_{T}^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado trata da queda de uma partícula de massa m sujeita à gravidade mg para baixo e a uma força de amortecimento quadrática f(v)=-k\,m\,v^{2} para cima.
Conteúdo: Segunda Lei de Newton e integração por separação de variáveis para obter distância em função da velocidade.

Passo 2

Para achar a velocidade terminal \displaystyle v_{T} basta anular a aceleração, isto é, fazer a soma das forças igual a zero:
mg - k\,m\,v_{T}^{2} = 0.
Cancelando m e isolando v_{T}^{2} vem
v_{T}^{2} = \frac{g}{k} \qquad\Longrightarrow\qquad v_{T} = \sqrt{\frac{g}{k}}.

Passo 3

Pela Segunda Lei, m\,a = \sum F = mg - k\,m\,v^{2}. Dividindo por m e usando a = \dfrac{dv}{dt}
\frac{dv}{dt} = g - k\,v^{2}.
Para achar a distância \Delta y percor- rida ao variar de v_{0} a v, escrevemos
\frac{dy}{dt}=v \quad\Longrightarrow\quad dy = v\,dt \quad\text{e}\quad dt = \frac{dv}{g - k\,v^{2}}.
Logo
dy = \frac{v\,dv}{\,g - k\,v^{2}\,}.

Passo 4

Integramos ambos os lados desde v_{0} até v:
\Delta y = \int_{v_{0}}^{v} \frac{v\,dv}{\,g - k\,v^{2}\,}.
Fazendo a substituição u = v^{2}, du = 2v\,dv, temos
\Delta y = \int_{u_{0}=v_{0}^{2}}^{u=v^{2}} \frac{du/2}{\,g - k\,u\,} = \frac{1}{2}\int_{v_{0}^{2}}^{v^{2}} \frac{du}{\,k\bigl(v_{T}^{2}-u\bigr)\,}
onde usamos g = k\,v_{T}^{2}. Assim
\Delta y = \frac{1}{2k}\int_{v_{0}^{2}}^{v^{2}} \frac{du}{\,v_{T}^{2}-u\,} = -\frac{1}{2k}\Bigl[\ln\bigl(v_{T}^{2}-u\bigr)\Bigr]_{v_{0}^{2}}^{v^{2}}.

Passo 5

Avaliar o colchete dá
\Delta y = -\frac{1}{2k}\Bigl(\ln\bigl(v_{T}^{2}-v^{2}\bigr) -\ln\bigl(v_{T}^{2}-v_{0}^{2}\bigr)\Bigr) = \frac{1}{2k}\ln\!\Bigl(\frac{v_{0}^{2}-v_{T}^{2}}{v^{2}-v_{T}^{2}}\Bigr).

Resposta

(a) \displaystyle v_{T}=\sqrt{\frac{g}{k}}.
(b) \displaystyle \Delta y(v_{0}\to v) =\frac{1}{2k}\ln\!\Bigl(\frac{v_{0}^{2}-v_{T}^{2}}{v^{2}-v_{T}^{2}}\Bigr).

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