Uma bola de plástico de raio igual a 12,0 \mathrm{~cm} flutua na água com 24,0 \% de seu volume submerso.
(a) Calcule a densidade do plástico;
(b) Que força você precisa aplicar à bola para mantê-la em repouso completamente abaixo da superfície da água?
(c) Se você soltar a bola, qual será sua aceleração no instante em que a soltar?
Considere a densidade da água 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e o volume da esfera \quad V=\frac{4}{3} \pi r^{3} \quad.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de plástico de raio r=12{,}0\\ \mathrm{cm} que flutua na água com 24{,}0\% de seu volume submerso. Queremos:
  • (a) a densidade do plástico a partir do princípio de Arquimedes, que diz que, em equilíbrio, o empuxo iguala o peso do corpo.
  • (b) a força adicional para mantê-la estática totalmente submersa.
  • (c) a aceleração inicial ao soltá-la, usando segunda lei de Newton \sum F = ma.
    Vamos usar V=\tfrac{4}{3}\pi r^3, r=0{,}12\\ \mathrm{m}, \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Para (a), em equilíbrio parcial o empuxo E é
E = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\;gá
e deve igualar o peso P da esfera:
P = \rho_{\text{pl}}\,V\,g.
Como V_{\text{sub}}=0{,}24\,V, igualamos
\rho_{\text{água}}\,(0{,}24\,V)\,g = \rho_{\text{pl}}\,V\,gá
e cancelamos Vg, obtendo
\rho_{\text{pl}} = 0{,}24\,\rho_{\text{água}} = 0{,}24 \times 1000 = 240\\ \mathrm{kg/m^3}.á

Passo 3

Para (b), quando a esfera está totalmente submersa, o empuxo é
E_{\text{tot}} = \rho_{\text{água}}\,V\,g,á
enquanto o peso continua sendo P=\rho_{\text{pl}}\,V\,g. A força extra F para mantê-la em repouso para baixo satisfaz
P + F = E_{\text{tot}} \quad\Longrightarrow\quad F = (\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{pl}})\,V\,g.á
Calculamos o volume
V = \tfrac{4}{3}\pi (0{,}12)^3 \approx 0{,}007238\\ \mathrm{m^3},
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F = (1000 - 240)\times 0{,}007238 \times 9{,}8 \approx 53{,}9\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Para (c), ao soltar a esfera totalmente submersa, a resultante aponta para cima e vale
F_{\text{res}} = E_{\text{tot}} - P = (\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{pl}})\,V\,g.á
Pela segunda lei,
a = \frac{F_{\text{res}}}{m} = \frac{(\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{pl}})\,V\,g}{\rho_{\text{pl}}\,V} = \frac{\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{pl}}}{\rho_{\text{pl}}}\,g = \frac{1000 - 240}{240}\times 9{,}8 \approx 31{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.áá

Resposta

(a) 240\\ \mathrm{kg/m^3}
(b) 5{,}39\times10^{1}\\ \mathrm{N}
(c) 3{,}10\times10^{1}\\ \mathrm{m/s^2} (para cima)

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