A velocidade instantânea v de uma partícula em movimento unidimensional varia com sua posição x na forma v(x)=v_{0} e^{-3 b x}, onde a e b são constantes.
a) Encontre a força resultante como função da posição, f(x).

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de uma partícula em movimento unidimensional como
v(x)=v_{0}e^{-3b x},
onde v_{0} e b são constantes, e pede a força resultante f(x).
O conteúdo envolvido é Dinâmica clássica, usando
f=m\,a
e a regra da cadeia para escrever a aceleração a=dv/dt em função de x.

Passo 2

Escrevemos a aceleração usando a regra da cadeia:
a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\,\frac{dx}{dt} = v\,\frac{dv}{dx}.

Passo 3

Calculamos a derivada de v em relação a x:
\frac{dv}{dx} =\frac{d}{dx}\bigl(v_{0}e^{-3b x}\bigr) =-3b\,v_{0}e^{-3b x} =-3b\,v(x).

Passo 4

Substituindo em a=v\,dv/dx, obtemos
a(x) = v(x)\,\bigl[-3b\,v(x)\bigr] =-3b\,\bigl[v(x)\bigr]^{2} =-3b\,\bigl(v_{0}e^{-3b x}\bigr)^{2} =-3b\,v_{0}^{2}e^{-6b x}.

Passo 5

Finalmente, a força resultante é
f(x)=m\,a(x) =-3\,m\,b\,v_{0}^{2}e^{-6b x}.

Resposta

f(x)=-3\,m\,b\,v_{0}^{2}e^{-6b x}.

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