Uma partícula de massa e carga entra em uma região circular de raio com velocidade , direcionada para o centro . Na região circular, existe um campo magnético estacionário e uniforme descrito por -B0 Z, sendo B0=ctt>0. A partícula sai da região no ponto P. Determine o ângulo alpha indicado no esquema. 2 tan ^-1(2 q B Rm v).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula com massa $ m $ e carga $ q > 0 $ que entra numa região circular com raio $ R $ e velocidade $ v $ em direção ao centro $ \mathcal{O} $. Dentro dessa região tem um campo magnético uniforme $ \overline{\boldsymbol{B}} = -B_{0} \mathcal{Z} $, onde $ B_{0} $ é positivo. A partícula sai da região no ponto $ \mathcal{P} $ e a gente precisa descobrir o ângulo $ \alpha $ indicado no esquema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força magnética e movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma carga $ q $ se move com velocidade $ \boldsymbol{v} $ em um campo magnético $ \overline{\boldsymbol{B}} $, ela sofre uma força magnética dada por:
q
Essa força é perpendicular tanto à velocidade quanto ao campo magnético e faz a partícula se mover em trajetória circular.
Passo 3
Como a força magnética está centrada no movimento circular, ela age como a força centrípeta que mantém a partícula na trajetória. A força centrípeta é dada por:
Fc = m v^2R
Igualando a força magnética à força centrípeta:
q v B0 = m v^2R
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre os parâmetros. Dividindo ambos os lados por $ v $:
v
Podemos rearranjar para encontrar $ v $:
q B0 = m vR
Passo 5
Agora, precisamos relacionar essa velocidade com o ângulo $ \alpha $. Quando a partícula entra na região magnética, ela começa a se mover em uma trajetória circular. O ângulo $ \alpha $ corresponde ao deslocamento angular até ela sair da região.
A distância que a partícula percorre até sair da região circular é relacionada ao ângulo $ \alpha $ e ao raio $ R $ pela fórmula do arco:
alpha
Mas como a partícula está sujeita à força magnética, o tempo $ t $ que ela leva para percorrer esse arco está relacionado à velocidade $ v $:
alpha
Passo 6
Sabemos que a aceleração centrípeta $ a_c $ é dada por:
ac
E o tempo $ t $ para a partícula atravessar o ângulo $ \alpha $ pode ser relacionado à aceleração e à velocidade por:
ac = v^2R
Onde $ \omega $ é a velocidade angular, dada por:
t
Substituindo, temos:
alpha
Da nossa equação anterior, $ R \alpha = v t $, substituindo:
alpha = omega t
Isso mostra que precisamos de outra abordagem para relacionar $ \alpha $ com os outros parâmetros.
Passo 7
Vamos considerar a trajetória da partícula sob a influência do campo magnético. O movimento será circular devido à força magnética, e o ângulo $ \alpha $ pode ser encontrado usando a relação entre o desvio causado pelo campo e a trajetória natural da partícula.
A expressão para o desvio angular $ \theta $ em um campo magnético uniforme é:
alpha
No problema, há uma relação específica para $ \alpha $:
theta
Resposta
O ângulo $ \alpha $ é dado por $ \alpha = 2 \tan^{-1}\left(\frac{2 q B_0 R}{m v}\right) $.