Uma partícula de massa e carga entra em uma região circular de raio com velocidade , direcionada para o centro . Na região circular, existe um campo magnético estacionário e uniforme descrito por -B0 Z, sendo B0=ctt>0. A partícula sai da região no ponto P. Determine o ângulo alpha indicado no esquema. tan ^-1(q B R2 m v).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa m e carga positiva q que entra numa região circular de raio R com velocidade v, indo direto pro centro da região. Dentro dessa região, tem um campo magnético uniforme apontando na direção negativa do eixo Z, ou seja, B = -B0 Z, onde B0 é uma constante positiva. Quando a partícula sai da região, queremos descobrir qual é o ângulo alpha que ela forma nesse ponto de saída. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força magnética e movimento circular de partículas carregadas em campos magnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada se movimenta em um campo magnético, ela sofre uma força perpendicular tanto à sua velocidade quanto ao campo magnético. Essa força é dada pela força de Lorentz, que pode ser expressa pela fórmula:
F = q , (v times B)
Essa força faz com que a partícula se mova em uma trajetória curva.
Passo 3
Como a força está sempre perpendicular à velocidade, ela funciona como uma força centrípeta, que mantém a partícula em movimento circular dentro da região do campo magnético. A força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular é dada por:
Fcentrípeta = m v^2R í
Onde R é o raio da trajetória.
Passo 4
Igualando a força de Lorentz à força centrípeta, temos:
q v B = m v^2R
Aqui, B é o módulo do campo magnético, que no nosso caso é B0.
Passo 5
Vamos isolar a relação entre as grandezas. Simplificando a equação anterior:
q B R = m v
Mas precisamos relacionar isso com o ângulo alpha que a partícula forma ao sair da região.
Passo 6
Quando a partícula sai da região magnética, ela deixa de sofrer a força magnética e continua seu movimento retilíneo com a mesma velocidade que tinha no instante da saída. O ângulo alpha pode ser relacionado ao desvio da trajetória devido à força magnética enquanto a partícula estava na região com campo.
Passo 7
O ângulo pode ser encontrado considerando o equilíbrio entre a trajetória circular na região do campo e a trajetória retilínea após sair. Utilizando trigonometria e relacionando as forças, chega-se à expressão para o ângulo alpha: