Uma onda estacionária em uma corda é descrita por: y(x, t)=0,040 sen(5 pi x) cos (40 pi t) em unidades do S.I. Para x >= 0, determine © a velocidade e a amplitude das ondas progressivas que geraram esse padrão de onda estacionária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma onda estacionária em uma corda, descrita pela equação $ y(x, t) = 0,040 , sen(5 \pi x) \cos(40 \pi t) $ no SI. Nosso objetivo é descobrir duas coisas sobre as ondas que formaram essa onda estacionária: a velocidade e a amplitude das ondas progressivas que se combinaram para criar esse padrão.

Passo 2

Primeiro, é importante entender que uma onda estacionária é formada pela superposição de duas ondas progressivas que se movem em direções opostas com a mesma velocidade e amplitude. A equação geral de uma onda estacionária é dada por:
y(x, t) = 2A , sen(kx) cos(omega t)
onde:
- $ A $ é a amplitude de cada onda progressiva,
- $ k $ é o número de onda,
- $ \omega $ é a frequência angular.
Comparando com a equação fornecida:
A
vemos que $ 2A = 0,040 $. Portanto, a amplitude de cada onda progressiva $ A $ é:
k

Passo 3

Agora, vamos determinar a velocidade das ondas progressivas. A velocidade $ v $ de uma onda é relacionada à frequência angular $ \omega $ e ao número de onda $ k $ pela fórmula:
v
Da equação fornecida:
  • $ \omega = 40 \pi , rad/s $
  • $ k = 5 \pi , rad/m $
Substituindo na fórmula:
omega

Resposta

As ondas progressivas que geraram a onda estacionária têm uma velocidade de 8 m/s e amplitude de 0,020 metros cada.

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