Uma partícula de massa
e carga q é lançada diretamente para centro
de uma esfera de raio
que possui uma carga
uniformemente distribuída pelo seu volume, sendo
. Sabendo que a distancia inicial da partícula para
é
e que, após ser repelida, a máxima aproximação dela para
foi de
teremos que o módulo
da velocidade de lançamento da partícula será:
(a)
(b)
©
(d)
.
(e)
(g)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
e carga
que é lançada em direção ao centro
de uma esfera com raio
. Essa esfera tem uma carga total
distribuída uniformemente pelo seu volume, onde
. A distância inicial da partícula até o centro é
e, após ser repelida, a mínima distância que ela alcança é
, onde
. Queremos descobrir a velocidade inicial
da partícula.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial elétrica e conservação de energia. Vamos calcular a energia total no ponto inicial e no ponto de máxima aproximação e igualá-las para encontrar a velocidade inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total de um sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. No ponto inicial, a partícula tem uma certa velocidade
, então sua energia cinética é:
E a energia potencial elétrica devido à interação com a esfera é dada por:
Aqui, usamos a fórmula da energia potencial para uma carga fora de uma esfera carregada uniformemente.
Passo 3
No ponto de máxima aproximação
, a partícula para momentaneamente, ou seja, sua energia cinética é zero. A energia potencial nesse ponto é:
Passo 4
Pela conservação de energia, a energia total no ponto inicial é igual à energia total no ponto de máxima aproximação:
Substituindo as expressões que temos:
Passo 5
Isolando
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o
:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Lembrando que a carga da esfera é
, substituímos na equação:
Observando que
, podemos reescrever:
Resposta
A alternativa (a) está correta: