Uma partícula de massa m e carga q é lançada diretamente para centro C de uma esfera de raio R que possui uma carga Q=k q uniformemente distribuída pelo seu volume, sendo k>0. Sabendo que a distancia inicial da partícula para C é D=N R e que, após ser repelida, a máxima aproximação dela para C foi de d=n R(com 1 teremos que o módulo v0 da velocidade de lançamento da partícula será:
(a) v0=raizk q^2(N+n)4 pi n N epsilon0 m R
(b) v0=raizk q^2(N-n)2 pi n N epsilon0 m R
© v0=raizk q^2(N-n)pi n^2 epsilon0 m R
(d) v0=raizn q^2(N+n)4 pi k N epsilon0 m R.
(e) v0=raizN q^2(N+k)4 pi k N epsilon0 m R cdot
(g) v0=raizn q^2(N+n)pi n N epsilon0 m R.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa e carga que é lançada em direção ao centro de uma esfera com raio . Essa esfera tem uma carga total distribuída uniformemente pelo seu volume, onde . A distância inicial da partícula até o centro é e, após ser repelida, a mínima distância que ela alcança é , onde . Queremos descobrir a velocidade inicial da partícula.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial elétrica e conservação de energia. Vamos calcular a energia total no ponto inicial e no ponto de máxima aproximação e igualá-las para encontrar a velocidade inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total de um sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. No ponto inicial, a partícula tem uma certa velocidade Ecinética inicial = 12 m v0^2 , então sua energia cinética é:
Uinicial = 14pi varepsilon0 cdot q QR ( 32 - N^22 ) é
E a energia potencial elétrica devido à interação com a esfera é dada por:
Aqui, usamos a fórmula da energia potencial para uma carga fora de uma esfera carregada uniformemente.

Passo 3

No ponto de máxima aproximação Umáxima aproximação = 14pi varepsilon0 cdot q QR ( 32 - n^22 ) , a partícula para momentaneamente, ou seja, sua energia cinética é zero. A energia potencial nesse ponto é:
áçã

Passo 4

Pela conservação de energia, a energia total no ponto inicial é igual à energia total no ponto de máxima aproximação:
Ecinética inicial + Uinicial = Umáxima aproximação éáçã
Substituindo as expressões que temos:
12 m v0^2 + 14pi varepsilon0 cdot q QR ( 32 - N^22 ) = 14pi varepsilon0 cdot q QR ( 32 - n^22 )

Passo 5

Isolando 12 m v0^2 = 14pi varepsilon0 cdot q QR ( 32 - n^22 - 32 + N^22 ) :
12 m v0^2 = 14pi varepsilon0 cdot q QR cdot N^2 - n^22
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o m v0^2 = 14pi varepsilon0 cdot q QR cdot (N^2 - n^2) :
v0^2 = 14pi varepsilon0 cdot q QR m cdot (N^2 - n^2)
Agora, isolamos v0 = raiz q Q (N^2 - n^2)4pi varepsilon0 R m :

Passo 7

Lembrando que a carga da esfera é v0 = raiz q (k q) (N^2 - n^2)4pi varepsilon0 R m = raiz k q^2 (N^2 - n^2)4pi varepsilon0 R m , substituímos na equação:
v0 = raiz k q^2 (N + n)(N - n)4pi varepsilon0 R m
Observando que , podemos reescrever:

Resposta

A alternativa (a) está correta:

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