Considere um fio não condutor de comprimento a posicionado ao longo do eixo
, com uma extremidade na origem
e a outra em
, onde
. Uma carga
está distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento. Qual das alternativas a seguir descreve corretamente o campo elétrico na posição
?
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um fio não condutor colocado ao longo do eixo
, que vai de
até
. Esse fio tem uma carga total
distribuída de maneira uniforme ao longo de todo o comprimento. A missão aqui é descobrir qual é o campo elétrico nesse fio na posição
. Vamos precisar usar conceitos de campo elétrico devido a distribuições de carga, especificamente usando a Lei de Coulomb e integração para somar as contribuições de cada pedacinho do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que como a carga está distribuída uniformemente, a densidade linear de carga
é igual a carga total
dividida pelo comprimento do fio
. Ou seja:
Passo 3
Agora, para achar o campo elétrico em
, precisamos considerar que cada pedacinho do fio contribui com um pequeno campo elétrico
. Como o ponto onde queremos saber o campo está ao longo do eixo
, todos os campos elétricos vão estar na direção desse eixo. A distância de cada pedacinho do fio até o ponto
será diferente, então precisamos integrar essas contribuições ao longo de todo o comprimento do fio.
Passo 4
Vamos parametrizar o fio com uma variável
, que vai de
a
. A distância de um ponto
no fio até
é
. O campo elétrico devido a um elemento de carga
é dado por:
Substituindo
por
:
Passo 5
Agora, substituímos
pela expressão que encontramos:
Podemos simplificar:
Passo 6
Para achar o campo total
, integramos
de
até
:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Quando
,
, e quando
,
. A integral se torna:
Passo 8
Integrando
:
Aplicando os limites:
Resposta
A alternativa correta é a letra ©: