Considere um fio não condutor de comprimento a posicionado ao longo do eixo X, com uma extremidade na origem (x=0) e a outra em x=a, onde a>0. Uma carga Q está distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento. Qual das alternativas a seguir descreve corretamente o campo elétrico na posição x=2 a ?
(a) -Q2 pi epsilon0 a^2 x.
(b) Q2 pi epsilon0 a^2 y.
© Q8 pi epsilon0 a^2 x.
(d) Qraiz2 pi epsilon0 a^2 x.
(e) Q4 pi epsilon0 a^2 x.
(f) Q8 raiz2 pi epsilon0 a^2 y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um fio não condutor colocado ao longo do eixo X, que vai de x=0 até x=a. Esse fio tem uma carga total Q distribuída de maneira uniforme ao longo de todo o comprimento. A missão aqui é descobrir qual é o campo elétrico nesse fio na posição x=2a. Vamos precisar usar conceitos de campo elétrico devido a distribuições de carga, especificamente usando a Lei de Coulomb e integração para somar as contribuições de cada pedacinho do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que como a carga está distribuída uniformemente, a densidade linear de carga lambda é igual a carga total Q dividida pelo comprimento do fio a. Ou seja:
lambda = Qa

Passo 3

Agora, para achar o campo elétrico em x=2a, precisamos considerar que cada pedacinho do fio contribui com um pequeno campo elétrico dE. Como o ponto onde queremos saber o campo está ao longo do eixo X, todos os campos elétricos vão estar na direção desse eixo. A distância de cada pedacinho do fio até o ponto x=2a será diferente, então precisamos integrar essas contribuições ao longo de todo o comprimento do fio.

Passo 4

Vamos parametrizar o fio com uma variável x', que vai de 0 a a. A distância de um ponto x' no fio até x=2a é 2a - x'. O campo elétrico devido a um elemento de carga dq = lambda dx' é dado por:
dE = 14piepsilon0 dq(2a - x')^2
Substituindo dq por lambda dx':
dE = 14piepsilon0 lambda dx'(2a - x')^2

Passo 5

Agora, substituímos lambda pela expressão que encontramos:
dE = 14piepsilon0 Qa dx'(2a - x')^2
Podemos simplificar:
dE = Q4piepsilon0 a dx'(2a - x')^2

Passo 6

Para achar o campo total E, integramos dE de x' = 0 até x' = a:
E = Q4piepsilon0 a integral0^a dx'(2a - x')^2

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = 2a - x', então du = -dx'. Quando x' = 0, u = 2a, e quando x' = a, u = a. A integral se torna:
E = Q4piepsilon0 a integral2a^a -duu^2 = Q4piepsilon0 a integrala^2a duu^2

Passo 8

Integrando 1u^2:
integral duu^2 = -1u
Aplicando os limites:
E = Q4piepsilon0 a ( -12a + 1a ) = Q4piepsilon0 a ( 1a - 12a ) = Q4piepsilon0 a cdot 12a = Q8piepsilon0 a^2

Resposta

A alternativa correta é a letra ©:
Q8 pi epsilon0 a^2 x

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