Um tubo não condutor, muito longo e vazado é delimitado, interna e externamente, por superfícies cilíndricas coaxiais de raios a e 5a. Ao longo de seu volume, o tubo possui uma distribuição de cargas com simetria axial cuja densidade volumar é dada pela função
, onde
é a distância de um ponto ao seu eixo e
const.
(a)
ponto] Assumindo superfícies gaussianas com geometrias cilíndricas de comprimento arbitrário
, coaxiais ao tubo, obtenha as cargas
e
dentro das gaussianas (1), interna ao tubo (quando
) e 2, externa ao tubo (quando
), respectivamente. Estas gaussianas estão ilustradas nas figuras abaixo.
Figura 1:
Figura 2:
(b)
ponto ] Usando a lei de Gauss determine o campo elétrico
nas duas regiões definidas no item anterior (para
e
).
©
ponto ] Esboçe o comportamento para
através de um gráfico contendo o intervalo de
, destacando os detalhes importantes da função.
(d)
ponto] Determine a diferença de potencial
existente entre as superfícies interna
e externa
que delimitam o volume do tubo.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você mandou é sobre eletrostática, especificamente usando a Lei de Gauss para encontrar cargas e campos elétricos em um tubo cilíndrico com distribuição de carga. Vamos precisar entender conceitos de simetria cilíndrica, densidade de carga volumar, e como aplicar a Lei de Gauss para encontrar $ Q $ e $ \mathbf{E} $. Vamos resolver passo a passo cada item do exercício.
Passo 2
Parte (a): Encontrar as cargas $ Q_1 $ e $ Q_2 $ dentro das superfícies gaussianas.
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície gaussiana. Ela é uma superfície imaginária usada na Lei de Gauss para calcular o fluxo elétrico e, consequentemente, o campo elétrico ou a carga envolvida.
Temos um tubo cilíndrico com raios internos e externos de $ a $ e $ 5a $, respectivamente. A distribuição de carga no tubo tem simetria axial e a densidade de carga volumar é dada por:
onde $ s $ é a distância de um ponto ao eixo do cilindro.
Vamos calcular $ Q_1 $ para a região onde $ a < s < 5a $ e $ Q_2 $ para $ s > 5a $.
Passo 3
Calcular $ Q_1 $ para $ a < s < 5a $.
A carga $ Q_1 $ dentro da superfície gaussiana interna é a carga presente no volume do tubo entre $ s = a $ e $ s = 5a $. Para calcular isso, usamos a densidade de carga e integramos sobre o volume dessa região.
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é:
onde $ \ell $ é o comprimento arbitrário do cilindro.
Então, a carga $ Q_1 $ é:
Simplificando a expressão:
Passo 4
Calcular $ Q_2 $ para $ s > 5a $.
Para a superfície gaussiana externa, onde $ s > 5a $, toda a carga do tubo está dentro dessa superfície. Porém, como o tubo é muito longo (quase infinito), a carga total dentro da superfície também se aproxima do infinito.
No entanto, geralmente consideramos a carga por unidade de comprimento para evitar resultados indefinidos. Assim, a carga $ Q_2 $ por unidade de comprimento $ \ell $ é:
A carga $ Q_2 $ é a mesma que $ Q_1 $, já que não há carga além de $ s = 5a $.
Passo 5
Parte (b): Determinar o campo elétrico $ \mathbf{E} $ nas duas regiões usando a Lei de Gauss.
A Lei de Gauss nos diz que:
Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico $ \mathbf{E} $ tem apenas componente radial e é constante ao longo da superfície gaussiana cilíndrica.
Para uma superfície gaussiana cilíndrica de raio $ s $ e comprimento $ \ell $:
Portanto:
Da parte (a), sabemos que $ Q_{enc} $ é $ 8\pi \rho_0 a^2 \ell $ para $ s > 5a $ e $ Q_{enc} $ varia para $ a < s < 5a $.
Vamos calcular $ E(s) $ para as duas regiões.
Passo 6
Calcular $ \mathbf{E} $ para $ a < s < 5a $.
Dentro do tubo, a carga $ Q_{enc} $ é a carga até o raio $ s $:
Aplicando na Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 7
Calcular $ \mathbf{E} $ para $ s > 5a $.
Aqui, toda a carga do tubo está dentro da superfície gaussiana:
Aplicando na Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 8
Resumo das expressões para $ \mathbf{E}(s) $:
- Para $ a < s < 5a $:
- Para $ s > 5a $:
Passo 9
Parte ©: Esboçar o comportamento de $ E(s) $ para $ 0 \leq s \leq 10a $.
Vamos descrever como o campo elétrico varia com $ s $:
- Para $ s < a $: Não há carga interna, então $ \mathbf{E}(s) = 0 $.
- Para $ a < s < 5a $: O campo elétrico cresce à medida que $ s $ aumenta, já que mais carga está incluída.
- Para $ s > 5a $: O campo elétrico decresce proporcionalmente a $ 1/s $.
Portanto, o gráfico de $ E(s) $ começa em zero, aumenta na região $ a < s < 5a $ e depois diminui para $ s > 5a $.
Passo 10
Parte (d): Determinar a diferença de potencial $ \Delta V $ entre $ s = a $ e $ s = 5a $.
A diferença de potencial é dada por:
Como o campo elétrico é radial:
Substituindo $ E(s) $ para $ a < s < 5a $:
Resolvendo a integral:
Calculando:
Simplificando:
Resposta
A diferença de potencial entre as superfícies interna $ s = a $ e externa $ s = 5a $ é: