Um tubo não condutor, muito longo e vazado é delimitado, interna e externamente, por superfícies cilíndricas coaxiais de raios a e 5a. Ao longo de seu volume, o tubo possui uma distribuição de cargas com simetria axial cuja densidade volumar é dada pela função rho(s)=rho0(a / s), onde s é a distância de um ponto ao seu eixo e rho0= const.
(a) [1 , 2 ponto] Assumindo superfícies gaussianas com geometrias cilíndricas de comprimento arbitrário ell, coaxiais ao tubo, obtenha as cargas Q1 e Q2 dentro das gaussianas (1), interna ao tubo (quando a ) e 2, externa ao tubo (quando s>5 a), respectivamente. Estas gaussianas estão ilustradas nas figuras abaixo.
Q1=coo 2 pi l s-
Figura 1: [a
Q2=8 a^2 lo 0 pi
Figura 2: [s>5 a]
(b) [1,2 ponto ] Usando a lei de Gauss determine o campo elétrico E nas duas regiões definidas no item anterior (para a e s>5 a ).
© [0,6 ponto ] Esboçe o comportamento para E(s) através de um gráfico contendo o intervalo de 0 <= s <= 10 a, destacando os detalhes importantes da função.
(d) [1,0 ponto] Determine a diferença de potencial De existente entre as superfícies interna (s=a) e externa (s=5 a) que delimitam o volume do tubo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você mandou é sobre eletrostática, especificamente usando a Lei de Gauss para encontrar cargas e campos elétricos em um tubo cilíndrico com distribuição de carga. Vamos precisar entender conceitos de simetria cilíndrica, densidade de carga volumar, e como aplicar a Lei de Gauss para encontrar $ Q $ e $ \mathbf{E} $. Vamos resolver passo a passo cada item do exercício.

Passo 2

Parte (a): Encontrar as cargas $ Q_1 $ e $ Q_2 $ dentro das superfícies gaussianas.
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície gaussiana. Ela é uma superfície imaginária usada na Lei de Gauss para calcular o fluxo elétrico e, consequentemente, o campo elétrico ou a carga envolvida.
Temos um tubo cilíndrico com raios internos e externos de $ a $ e $ 5a $, respectivamente. A distribuição de carga no tubo tem simetria axial e a densidade de carga volumar é dada por:
Q1
onde $ s $ é a distância de um ponto ao eixo do cilindro.
Vamos calcular $ Q_1 $ para a região onde $ a < s < 5a $ e $ Q_2 $ para $ s > 5a $.

Passo 3

Calcular $ Q_1 $ para $ a < s < 5a $.
A carga $ Q_1 $ dentro da superfície gaussiana interna é a carga presente no volume do tubo entre $ s = a $ e $ s = 5a $. Para calcular isso, usamos a densidade de carga e integramos sobre o volume dessa região.
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é:
Q1
onde $ \ell $ é o comprimento arbitrário do cilindro.
Então, a carga $ Q_1 $ é:
a < s < 5a
Simplificando a expressão:
Q1

Passo 4

Calcular $ Q_2 $ para $ s > 5a $.
Para a superfície gaussiana externa, onde $ s > 5a $, toda a carga do tubo está dentro dessa superfície. Porém, como o tubo é muito longo (quase infinito), a carga total dentro da superfície também se aproxima do infinito.
No entanto, geralmente consideramos a carga por unidade de comprimento para evitar resultados indefinidos. Assim, a carga $ Q_2 $ por unidade de comprimento $ \ell $ é:
Q2
A carga $ Q_2 $ é a mesma que $ Q_1 $, já que não há carga além de $ s = 5a $.

Passo 5

Parte (b): Determinar o campo elétrico $ \mathbf{E} $ nas duas regiões usando a Lei de Gauss.
A Lei de Gauss nos diz que:
E
Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico $ \mathbf{E} $ tem apenas componente radial e é constante ao longo da superfície gaussiana cilíndrica.
Para uma superfície gaussiana cilíndrica de raio $ s $ e comprimento $ \ell $:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Portanto:
E
Da parte (a), sabemos que $ Q_{enc} $ é $ 8\pi \rho_0 a^2 \ell $ para $ s > 5a $ e $ Q_{enc} $ varia para $ a < s < 5a $.
Vamos calcular $ E(s) $ para as duas regiões.

Passo 6

Calcular $ \mathbf{E} $ para $ a < s < 5a $.
Dentro do tubo, a carga $ Q_{enc} $ é a carga até o raio $ s $:
E
Aplicando na Lei de Gauss:
a < s < 5a
Simplificando:
Qenc

Passo 7

Calcular $ \mathbf{E} $ para $ s > 5a $.
Aqui, toda a carga do tubo está dentro da superfície gaussiana:
E
Aplicando na Lei de Gauss:
s > 5a
Simplificando:
Qenc = Q2 = 8pi rho0 a^2 ell

Passo 8

Resumo das expressões para $ \mathbf{E}(s) $:
  • Para $ a < s < 5a $:
E(s)
  • Para $ s > 5a $:
a < s < 5a

Passo 9

Parte ©: Esboçar o comportamento de $ E(s) $ para $ 0 \leq s \leq 10a $.
Vamos descrever como o campo elétrico varia com $ s $:
  • Para $ s < a $: Não há carga interna, então $ \mathbf{E}(s) = 0 $.
  • Para $ a < s < 5a $: O campo elétrico cresce à medida que $ s $ aumenta, já que mais carga está incluída.
  • Para $ s > 5a $: O campo elétrico decresce proporcionalmente a $ 1/s $.
Portanto, o gráfico de $ E(s) $ começa em zero, aumenta na região $ a < s < 5a $ e depois diminui para $ s > 5a $.

Passo 10

Parte (d): Determinar a diferença de potencial $ \Delta V $ entre $ s = a $ e $ s = 5a $.
A diferença de potencial é dada por:
De
Como o campo elétrico é radial:
s = a
Substituindo $ E(s) $ para $ a < s < 5a $:
s = 5a
Resolvendo a integral:
De
Calculando:
De
Simplificando:
E(s)

Resposta

A diferença de potencial entre as superfícies interna $ s = a $ e externa $ s = 5a $ é:
s = a

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