•Uma partícula
com carga
e massa
e uma partícula
com carga
e massa
são aceleradas a partir do repouso por uma diferença de potencial
. Em seguida, elas entram em uma região com um campo magnético uniforme, onde descrevem trajetórias semicirculares de raios
para a partícula
e
para a partícula
. A direção do campo magnético é perpendicular à velocidade das partículas. Qual é a razão de suas massas,
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partículas, A e B, com cargas elétricas diferentes e massas também diferentes. Elas são aceleradas por uma diferença de potencial $ V $ e depois entram num campo magnético que faz com que elas sigam trajetórias semicirculares com raios diferentes. Nosso objetivo aqui é encontrar a razão entre as massas dessas partículas, ou seja, $ \frac{m_A}{m_B} $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia elétrica, movimento de partículas em campos magnéticos e as fórmulas que relacionam essas grandezas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia que cada partícula ganha quando é acelerada pela diferença de potencial $ V $. A energia elétrica fornecida pela diferença de potencial é dada por:
Para a partícula A, que tem carga $ q $, a energia adquirida é $ qV $. Já para a partícula B, com carga $ 2q $, a energia é $ 2qV $. Essa energia se transforma em energia cinética quando as partículas começam a se mover. A energia cinética é dada por:
Então, para cada partícula, temos:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a velocidade das partículas com o raio das trajetórias semicirculares que elas descrevem no campo magnético. A força magnética que atua sobre uma partícula carregada em movimento é dada por:
Onde:
- $ q $ é a carga da partícula,
- $ v $ é a velocidade,
- $ B $ é a intensidade do campo magnético.
Essa força magnética é a responsável por manter a partícula em movimento circular, atuando como a força centrípeta necessária para essa trajetória. A força centrípeta é dada por:
Onde $ R $ é o raio da trajetória.
Então, igualando as duas expressões para a força:
Podemos simplificar essa equação dividindo os dois lados por $ v $:
Daqui, podemos expressar a velocidade $ v $ em função do raio $ R $:
Passo 4
Agora, vamos voltar às equações de energia cinética que obtivemos no Passo 2 e substituir a velocidade $ v $ que encontramos:
Para a partícula A:
Simplificando:
Podemos rearranjar para encontrar $ m_A $:
Para a partícula B, lembrando que o raio da trajetória é $ 2R $:
Rearranjando para $ m_B $:
Passo 5
Agora que temos $ m_A $ e $ m_B $ em função dos mesmos parâmetros, podemos calcular a razão $ \frac{m_A}{m_B} $:
Resposta
A razão das massas é $ \frac{m_A}{m_B} = \frac{1}{2} $.