•Uma partícula A com carga q e massa mA e uma partícula B com carga 2 q e massa mB são aceleradas a partir do repouso por uma diferença de potencial V. Em seguida, elas entram em uma região com um campo magnético uniforme, onde descrevem trajetórias semicirculares de raios R para a partícula A e 2 R para a partícula B. A direção do campo magnético é perpendicular à velocidade das partículas. Qual é a razão de suas massas, mA / mB ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partículas, A e B, com cargas elétricas diferentes e massas também diferentes. Elas são aceleradas por uma diferença de potencial $ V $ e depois entram num campo magnético que faz com que elas sigam trajetórias semicirculares com raios diferentes. Nosso objetivo aqui é encontrar a razão entre as massas dessas partículas, ou seja, $ \frac{m_A}{m_B} $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia elétrica, movimento de partículas em campos magnéticos e as fórmulas que relacionam essas grandezas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia que cada partícula ganha quando é acelerada pela diferença de potencial $ V $. A energia elétrica fornecida pela diferença de potencial é dada por:
V
Para a partícula A, que tem carga $ q $, a energia adquirida é $ qV $. Já para a partícula B, com carga $ 2q $, a energia é $ 2qV $. Essa energia se transforma em energia cinética quando as partículas começam a se mover. A energia cinética é dada por:
Energia = q cdot V é
Então, para cada partícula, temos:
q í
qV í

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a velocidade das partículas com o raio das trajetórias semicirculares que elas descrevem no campo magnético. A força magnética que atua sobre uma partícula carregada em movimento é dada por:
F = q v B
Onde:
  • $ q $ é a carga da partícula,
  • $ v $ é a velocidade,
  • $ B $ é a intensidade do campo magnético.
Essa força magnética é a responsável por manter a partícula em movimento circular, atuando como a força centrípeta necessária para essa trajetória. A força centrípeta é dada por:
q í
Onde $ R $ é o raio da trajetória.
Então, igualando as duas expressões para a força:
v
Podemos simplificar essa equação dividindo os dois lados por $ v $:
B
Daqui, podemos expressar a velocidade $ v $ em função do raio $ R $:
Fcentrípeta = m v^2R

Passo 4

Agora, vamos voltar às equações de energia cinética que obtivemos no Passo 2 e substituir a velocidade $ v $ que encontramos:
Para a partícula A:
v
Simplificando:
qV = 12 mA ( q B RmA )^2
qV = 12 mA cdot q^2 B^2 R^2mA^2
Podemos rearranjar para encontrar $ m_A $:
qV = q^2 B^2 R^22 mA
Para a partícula B, lembrando que o raio da trajetória é $ 2R $:
mA
mA = q B^2 R^22 V
2R
2qV = 12 mB ( 2q B (2R)mB )^2
Rearranjando para $ m_B $:
2qV = 12 mB cdot 4q^2 B^2 R^2mB^2
2qV = 4q^2 B^2 R^22 mB

Passo 5

Agora que temos $ m_A $ e $ m_B $ em função dos mesmos parâmetros, podemos calcular a razão $ \frac{m_A}{m_B} $:
mA

Resposta

A razão das massas é $ \frac{m_A}{m_B} = \frac{1}{2} $.

Exercícios relacionados