Uma partícula de massa
é descrita pela Lagrangiana
onde
.
Mostre que as equações de Euler-Lagrange assumem a forma
e determine o vetor
em termos de
e
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Mostre que as equações de Euler-Lagrange assumem a forma
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ descrita por uma Lagrangiana específica:
onde $ \vec{A} = \hat{z} \times \vec{r} $.
Nosso objetivo é mostrar que as equações de Euler-Lagrange resultam em:
e determinar o vetor $ \vec{\omega} $ em termos de $ \alpha $ e $ m $.
Para resolver isso, precisaremos usar os princípios da mecânica lagrangiana, especialmente as equações de Euler-Lagrange. Vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos relembrar o que são as equações de Euler-Lagrange. Elas nos dizem como a dinâmica de um sistema evolui no tempo a partir da Lagrangiana $ L $. Para cada coordenada generalizada $ q_i $, a equação é:
No nosso caso, as coordenadas são as componentes de $ \vec{r} $, e $ \vec{v} = \dot{\vec{r}} $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, precisamos encontrar $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} $ e $ \frac{\partial L}{\partial \vec{r}} $.
A Lagrangiana é:
Então,
E,
onde $ \hat{z}^\times $ representa a operação de produto vetorial com $ \hat{z} $.
Passo 4
Agora, aplicamos a derivada temporal de $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} $:
Mas $ \dot{\vec{r}} = \vec{v} $, então:
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas na equação de Euler-Lagrange:
Perceba que os termos com $ \alpha $ se cancelam:
Isso sugere que $ \dot{\vec{v}} = 0 $, mas isso não está de acordo com o que queremos mostrar. Vamos revisar nossos cálculos.
Passo 6
Percebi um erro na derivada $ \frac{\partial L}{\partial \vec{r}} $. Vamos corrigir isso.
A Lagrangiana é:
Então,
O termo correto é:
Passo 7
Agora, substituímos novamente na equação de Euler-Lagrange:
Observando que $ \hat{z} \times \vec{v} = - (\vec{v} \times \hat{z}) $, temos:
Passo 8
Queremos que a equação fique na forma $ \dot{\vec{v}} = -\vec{\omega} \times \vec{v} $. Então, dividimos ambos os lados por $ m $:
Note que $ \vec{v} \times \hat{z} = - \hat{z} \times \vec{v} $, então podemos reescrever:
Passo 9
Comparando com a forma desejada $ \dot{\vec{v}} = -\vec{\omega} \times \vec{v} $, identificamos que:
Resposta
As equações de Euler-Lagrange assumem a forma $ \dot{\vec{v}} = -\vec{\omega} \times \vec{v} $ com o vetor $ \vec{\omega} $ dado por: