Uma partícula de massa m é descrita pela Lagrangiana
L=m2 v^2+alpha v cdot A(r)
onde A=z times r.
Mostre que as equações de Euler-Lagrange assumem a forma dotv=-omega times v e determine o vetor omega em termos de alpha e m;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ descrita por uma Lagrangiana específica:
m
onde $ \vec{A} = \hat{z} \times \vec{r} $.
Nosso objetivo é mostrar que as equações de Euler-Lagrange resultam em:
L = m2 v^2 + alpha v cdot A(r)
e determinar o vetor $ \vec{\omega} $ em termos de $ \alpha $ e $ m $.
Para resolver isso, precisaremos usar os princípios da mecânica lagrangiana, especialmente as equações de Euler-Lagrange. Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos relembrar o que são as equações de Euler-Lagrange. Elas nos dizem como a dinâmica de um sistema evolui no tempo a partir da Lagrangiana $ L $. Para cada coordenada generalizada $ q_i $, a equação é:
L
No nosso caso, as coordenadas são as componentes de $ \vec{r} $, e $ \vec{v} = \dot{\vec{r}} $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, precisamos encontrar $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} $ e $ \frac{\partial L}{\partial \vec{r}} $.
A Lagrangiana é:
partial Lpartial v
Então,
partial Lpartial r
E,
L = m2 v^2 + alpha v cdot (z times r)
onde $ \hat{z}^\times $ representa a operação de produto vetorial com $ \hat{z} $.

Passo 4

Agora, aplicamos a derivada temporal de $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} $:
partial Lpartial v
Mas $ \dot{\vec{r}} = \vec{v} $, então:
ddt ( partial Lpartial v ) = m dotv + alpha (z times dotr)

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na equação de Euler-Lagrange:
m dotv + alpha (z times v) - (alpha z times v) = 0
Perceba que os termos com $ \alpha $ se cancelam:
alpha
Isso sugere que $ \dot{\vec{v}} = 0 $, mas isso não está de acordo com o que queremos mostrar. Vamos revisar nossos cálculos.

Passo 6

Percebi um erro na derivada $ \frac{\partial L}{\partial \vec{r}} $. Vamos corrigir isso.
A Lagrangiana é:
partial Lpartial r
Então,
L = m2 v^2 + alpha v cdot (z times r)
O termo correto é:
partial Lpartial r = alpha v cdot (z times)

Passo 7

Agora, substituímos novamente na equação de Euler-Lagrange:
m dotv + alpha (z times v) - alpha (v times z) = 0
Observando que $ \hat{z} \times \vec{v} = - (\vec{v} \times \hat{z}) $, temos:
z times v = - (v times z)

Passo 8

Queremos que a equação fique na forma $ \dot{\vec{v}} = -\vec{\omega} \times \vec{v} $. Então, dividimos ambos os lados por $ m $:
dotv = -omega times v
Note que $ \vec{v} \times \hat{z} = - \hat{z} \times \vec{v} $, então podemos reescrever:
m

Passo 9

Comparando com a forma desejada $ \dot{\vec{v}} = -\vec{\omega} \times \vec{v} $, identificamos que:
dotv = -omega times v

Resposta

As equações de Euler-Lagrange assumem a forma $ \dot{\vec{v}} = -\vec{\omega} \times \vec{v} $ com o vetor $ \vec{\omega} $ dado por:
dotv = -omega times v

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