Uma partícula de massa m é descrita pela Lagrangiana
L=m2 v^2+alpha v cdot A(r)
onde A=z times r.
Expresse a Lagrangiana em coordenadas cilíndricas r, varphi, z e explique por que Lz= m r^2 dotvarphi não é conservado embora varphi seja uma coordenada cíclica.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ cuja dinâmica é descrita por uma Lagrangiana específica. A Lagrangiana é uma função que nos ajuda a descrever o movimento desse sistema. O enunciado nos pede para reescrever essa Lagrangiana em coordenadas cilíndricas $ {r, \varphi, z} $ e também para explicar por que a quantidade $ L_{z} = m r^{2} \dot{\varphi} $ não é conservada, mesmo que $ \varphi $ seja uma coordenada cíclica. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Conhecimentos de Lagrangiana em diferentes sistemas de coordenadas.
  • Como converter vetores e suas operações para coordenadas cilíndricas.
  • Entender o que significa uma coordenada ser cíclica e como isso afeta as grandezas conservadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a Lagrangiana dada em coordenadas cilíndricas. A Lagrangiana original é:
L = m2 v^2 + alpha v cdot A(r)
Em coordenadas cartesianas, $ \vec{v} $ é a velocidade da partícula. Mas como estamos mudando para coordenadas cilíndricas, precisamos expressar $ \vec{v} $ e $ \vec{A} $ nessas novas coordenadas.

Passo 3

Vamos começar expressando o vetor $ \vec{A} $ em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
A
Em coordenadas cilíndricas, o vetor posição $ \vec{r} $ é dado por:
A = z times r
Então, o produto vetorial $ \hat{z} \times \vec{r} $ fica:
r
Sabemos que $ \hat{z} \times \hat{z} = 0 $, então sobra:
r = r,r + z,z
Portanto, em coordenadas cilíndricas, $ \vec{A} = r,\hat{\varphi} $.

Passo 4

Agora, vamos expressar a velocidade $ \vec{v} $ em coordenadas cilíndricas. A velocidade em coordenadas cilíndricas é dada por:
v
Onde:
  • $ \dot{r} $ é a derivada de $ r $ em relação ao tempo.
  • $ \dot{\varphi} $ é a derivada de $ \varphi $ em relação ao tempo.
  • $ \dot{z} $ é a derivada de $ z $ em relação ao tempo.

Passo 5

Vamos calcular o termo cinético da Lagrangiana, que é $ \frac{m}{2} \vec{v}^{2} $. Calculando o quadrado da velocidade:
m2 v^2
Então, o termo cinético fica:
v^2 = (dotr,r + r,dotvarphi,varphi + dotz,z) cdot (dotr,r + r,dotvarphi,varphi + dotz,z) = dotr^2 + r^2dotvarphi^2 + dotz^2

Passo 6

Agora, vamos calcular o termo envolvendo $ \vec{v} \cdot \vec{A} $:
v cdot A
Então, o termo $ \alpha \vec{v} \cdot \vec{A} $ fica:
v cdot A = (dotr,r + r,dotvarphi,varphi + dotz,z) cdot (r,varphi) = dotr,0 + r,dotvarphi,1 + dotz,0 = r,dotvarphi

Passo 7

Juntando os dois termos, a Lagrangiana em coordenadas cilíndricas fica:
L = m2 (dotr^2 + r^2dotvarphi^2 + dotz^2) + alpha r,dotvarphi
Agora, vamos analisar por que $ L_{z} = m r^{2} \dot{\varphi} $ não é conservado, mesmo que $ \varphi $ seja uma coordenada cíclica.
Uma coordenada é dita cíclica se a Lagrangiana não depende explicitamente dessa coordenada. Olhando para a Lagrangiana que obtivemos, percebemos que não há dependência direta de $ \varphi $, apenas de $ \dot{\varphi} $. Isso sugere que o momento conjugado associado a $ \varphi $ é conservado.
O momento conjugado $ p_{\varphi} $ é dado por:
Lz = m r^2 dotvarphi
Embora $ \varphi $ seja cíclica, o termo adicional $ \alpha r $ impede que $ p_{\varphi} $ seja constante no tempo, já que $ r $ pode variar. Portanto, $ L_{z} = m r^{2} \dot{\varphi} $ não é conservado devido à presença do termo $ \alpha r $ na expressão de $ p_{\varphi} $.

Resposta

A Lagrangiana em coordenadas cilíndricas é
L = m2 (dotr^2 + r^2dotvarphi^2 + dotz^2) + alpha r,dotvarphi
Além disso, $ L_{z} = m r^{2} \dot{\varphi} $ não é conservado apesar de $ \varphi $ ser uma coordenada cíclica porque o momento conjugado associado inclui um termo adicional $ \alpha r $, o que faz com que $ L_{z} $ varie no tempo.

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