Uma partícula de massa
é descrita pela Lagrangiana
onde
.
Expresse a Lagrangiana em coordenadas cilíndricas
e explique por que
não é conservado embora
seja uma coordenada cíclica.
Expresse a Lagrangiana em coordenadas cilíndricas
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ cuja dinâmica é descrita por uma Lagrangiana específica. A Lagrangiana é uma função que nos ajuda a descrever o movimento desse sistema. O enunciado nos pede para reescrever essa Lagrangiana em coordenadas cilíndricas $ {r, \varphi, z} $ e também para explicar por que a quantidade $ L_{z} = m r^{2} \dot{\varphi} $ não é conservada, mesmo que $ \varphi $ seja uma coordenada cíclica. Para resolver isso, vamos precisar:
- Conhecimentos de Lagrangiana em diferentes sistemas de coordenadas.
- Como converter vetores e suas operações para coordenadas cilíndricas.
- Entender o que significa uma coordenada ser cíclica e como isso afeta as grandezas conservadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a Lagrangiana dada em coordenadas cilíndricas. A Lagrangiana original é:
Em coordenadas cartesianas, $ \vec{v} $ é a velocidade da partícula. Mas como estamos mudando para coordenadas cilíndricas, precisamos expressar $ \vec{v} $ e $ \vec{A} $ nessas novas coordenadas.
Passo 3
Vamos começar expressando o vetor $ \vec{A} $ em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Em coordenadas cilíndricas, o vetor posição $ \vec{r} $ é dado por:
Então, o produto vetorial $ \hat{z} \times \vec{r} $ fica:
Sabemos que $ \hat{z} \times \hat{z} = 0 $, então sobra:
Portanto, em coordenadas cilíndricas, $ \vec{A} = r,\hat{\varphi} $.
Passo 4
Agora, vamos expressar a velocidade $ \vec{v} $ em coordenadas cilíndricas. A velocidade em coordenadas cilíndricas é dada por:
Onde:
- $ \dot{r} $ é a derivada de $ r $ em relação ao tempo.
- $ \dot{\varphi} $ é a derivada de $ \varphi $ em relação ao tempo.
- $ \dot{z} $ é a derivada de $ z $ em relação ao tempo.
Passo 5
Vamos calcular o termo cinético da Lagrangiana, que é $ \frac{m}{2} \vec{v}^{2} $. Calculando o quadrado da velocidade:
Então, o termo cinético fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular o termo envolvendo $ \vec{v} \cdot \vec{A} $:
Então, o termo $ \alpha \vec{v} \cdot \vec{A} $ fica:
Passo 7
Juntando os dois termos, a Lagrangiana em coordenadas cilíndricas fica:
Agora, vamos analisar por que $ L_{z} = m r^{2} \dot{\varphi} $ não é conservado, mesmo que $ \varphi $ seja uma coordenada cíclica.
Uma coordenada é dita cíclica se a Lagrangiana não depende explicitamente dessa coordenada. Olhando para a Lagrangiana que obtivemos, percebemos que não há dependência direta de $ \varphi $, apenas de $ \dot{\varphi} $. Isso sugere que o momento conjugado associado a $ \varphi $ é conservado.
O momento conjugado $ p_{\varphi} $ é dado por:
Embora $ \varphi $ seja cíclica, o termo adicional $ \alpha r $ impede que $ p_{\varphi} $ seja constante no tempo, já que $ r $ pode variar. Portanto, $ L_{z} = m r^{2} \dot{\varphi} $ não é conservado devido à presença do termo $ \alpha r $ na expressão de $ p_{\varphi} $.
Resposta
A Lagrangiana em coordenadas cilíndricas é
Além disso, $ L_{z} = m r^{2} \dot{\varphi} $ não é conservado apesar de $ \varphi $ ser uma coordenada cíclica porque o momento conjugado associado inclui um termo adicional $ \alpha r $, o que faz com que $ L_{z} $ varie no tempo.