Um sistema mecânico com coordenadas generalizadas
é descrito pela Lagrangiana
Mostre que a transformação
é uma simetria da ação;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma certa transformação nas coordenadas $ x $ e $ y $ é uma simetria da ação do sistema mecânico dado pela Lagrangiana:
Matéria envolvida: Lagrangiana e simetrias na mecânica clássica.
O que vamos precisar: Entender o que é uma simetria da ação e como verificar se uma transformação mantém a ação inalterada.
O que vamos precisar: Entender o que é uma simetria da ação e como verificar se uma transformação mantém a ação inalterada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma simetria da ação. Uma transformação nas coordenadas que deixa a ação $ S $ inalterada é chamada de simetria. A ação é definida como:
Então, precisamos verificar se, ao aplicar a transformação $ x \rightarrow x’ = x + \epsilon \beta $ e $ y \rightarrow y’ = y - \epsilon \alpha $, a Lagrangiana muda apenas por uma derivada total em relação ao tempo, ou se permanece exatamente a mesma.
Passo 3
Vamos aplicar a transformação às coordenadas e suas derivadas:
Derivando em relação ao tempo:
Isso porque $ \epsilon $ é uma constante pequena.
Passo 4
Substituindo $ x’ $ e $ y’ $ na Lagrangiana:
Como $ \dot{x}’ = \dot{x} $ e $ \dot{y}’ = \dot{y} $, temos:
Simplificando:
Passo 5
Comparando $ L’ $ com $ L $:
Para que a transformação seja uma simetria da ação, a diferença $ L’ - L $ deve ser uma derivada total em relação ao tempo. Observamos que o termo $ -\epsilon (\alpha \beta + \beta^{2}) $ é constante, ou seja, a derivada em relação ao tempo desse termo é zero.
Passo 6
Como a diferença $ L’ - L $ é constante e sua derivada no tempo é zero, a ação $ S $ permanece inalterada:
Portanto, a transformação é uma simetria da ação.
Resposta
A transformação $ x \rightarrow x’ = x + \epsilon \beta $ e $ y \rightarrow y’ = y - \epsilon \alpha $ é, de fato, uma simetria da ação do sistema mecânico descrito pela Lagrangiana dada.