Um sistema mecânico com coordenadas generalizadas x, y é descrito pela Lagrangiana
L=m2(dotx^2+doty^2)-(alpha x+beta x)
Mostre que a transformação x x^prime=x+epsilon beta, y y^prime=y-epsilon alpha é uma simetria da ação;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma certa transformação nas coordenadas $ x $ e $ y $ é uma simetria da ação do sistema mecânico dado pela Lagrangiana:
x
Matéria envolvida: Lagrangiana e simetrias na mecânica clássica.
O que vamos precisar: Entender o que é uma simetria da ação e como verificar se uma transformação mantém a ação inalterada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma simetria da ação. Uma transformação nas coordenadas que deixa a ação $ S $ inalterada é chamada de simetria. A ação é definida como:
S
Então, precisamos verificar se, ao aplicar a transformação $ x \rightarrow x’ = x + \epsilon \beta $ e $ y \rightarrow y’ = y - \epsilon \alpha $, a Lagrangiana muda apenas por uma derivada total em relação ao tempo, ou se permanece exatamente a mesma.

Passo 3

Vamos aplicar a transformação às coordenadas e suas derivadas:
x' = x + epsilon beta y' = y - epsilon alpha
Derivando em relação ao tempo:
dotx' = dotx doty' = doty
Isso porque $ \epsilon $ é uma constante pequena.

Passo 4

Substituindo $ x’ $ e $ y’ $ na Lagrangiana:
x'
Como $ \dot{x}’ = \dot{x} $ e $ \dot{y}’ = \dot{y} $, temos:
y'
Simplificando:
L' = m2(dotx'^2 + doty'^2) - (alpha x' + beta x')

Passo 5

Comparando $ L’ $ com $ L $:
L'
Para que a transformação seja uma simetria da ação, a diferença $ L’ - L $ deve ser uma derivada total em relação ao tempo. Observamos que o termo $ -\epsilon (\alpha \beta + \beta^{2}) $ é constante, ou seja, a derivada em relação ao tempo desse termo é zero.

Passo 6

Como a diferença $ L’ - L $ é constante e sua derivada no tempo é zero, a ação $ S $ permanece inalterada:
L' - L
Portanto, a transformação é uma simetria da ação.

Resposta

A transformação $ x \rightarrow x’ = x + \epsilon \beta $ e $ y \rightarrow y’ = y - \epsilon \alpha $ é, de fato, uma simetria da ação do sistema mecânico descrito pela Lagrangiana dada.

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