Um sistema mecânico com coordenadas generalizadas
é descrito pela Lagrangiana
Calcule a quantidade conservada utilizando o Teorema de Noether;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema mecânico com duas coordenadas, $ x $ e $ y $, e nos dá a Lagrangiana desse sistema:
Matéria envolvida: Vamos trabalhar com a Mecânica Lagrangiana e o Teorema de Noether.
O que vamos precisar:
- Entender o que é uma Lagrangiana.
- Saber o que é o Teorema de Noether e como ele relaciona simetrias a quantidades conservadas.
- Identificar simetrias no sistema para encontrar a quantidade que é conservada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lagrangiana dada:
Aqui, $ \frac{m}{2} (\dot{x}^{2} + \dot{y}^{2}) $ representa a energia cinética do sistema, onde $ m $ é a massa e $ \dot{x} $, $ \dot{y} $ são as velocidades nas direções $ x $ e $ y $, respectivamente.
O termo $ (\alpha x + \beta x) $ parece ter um pequeno erro e provavelmente deveria ser $ (\alpha x + \beta y) $, representando a energia potencial do sistema. Vamos considerar esse ajuste para seguir.
Passo 3
Agora, vamos identificar possíveis simetrias no sistema. O Teorema de Noether nos diz que para cada simetria contínua de uma Lagrangiana, existe uma quantidade conservada.
Olhando para a Lagrangiana ajustada:
Notamos que a energia potencial depende linearmente de $ x $ e $ y $. Isso sugere que se não houver forças agindo em uma direção específica, o momento nessa direção será conservado.
Passo 4
Vamos verificar se existe uma simetria de translação. Se a Lagrangiana não depende de uma determinada coordenada, digamos $ y $, então há uma simetria de translação nessa direção, e o momento conjugado a $ y $ será conservado.
Observando a Lagrangiana:
Vemos que a Lagrangiana depende de $ y $ devido ao termo $ \beta y $. Isso significa que não há simetria de translação em $ y $, já que a energia potencial varia com $ y $.
Por outro lado, se $ \beta = 0 $, a Lagrangiana não dependeria de $ y $, garantindo a simetria. No entanto, com $ \beta \neq 0 $, precisamos considerar outra abordagem.
Passo 5
Vamos considerar uma simetria relacionada ao tempo. Se a Lagrangiana não depende explicitamente do tempo, a energia total é conservada. Mas, neste caso, a Lagrangiana não tem termos que indiquem variação no tempo, então a energia total do sistema será uma quantidade conservada.
No entanto, o exercício pede especificamente para usar o Teorema de Noether para encontrar uma quantidade conservada, então vamos focar nisso.
Passo 6
Outra possibilidade é verificar se há simetria rotacional. Se a Lagrangiana for invariante sob rotações no plano $ xy $, então o momento angular será conservado.
Vamos calcular a invariância sob uma rotação infinitesimal no plano $ xy $:
Se rotacionarmos as coordenadas $ x $ e $ y $ por um ângulo pequeno $ \theta $:
Substituindo na Lagrangiana:
Expandindo e ignorando termos de ordem superior em $ \theta $, percebemos que a Lagrangiana não é invariante a menos que $ \alpha = \beta $. Portanto, se $ \alpha = \beta $, há simetria rotacional e, consequentemente, conservação do momento angular.
Resposta
A quantidade conservada é o momento angular $ J $ dado por: