Uma partícula de massa m se desloca ao longo do eixo x sob a ação de uma força variável dada por
(em Newtons). Determine o trabalho realizado por essa força ao mover a partícula de
até
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma partícula de massa $ m $ que se move ao longo do eixo $ x $ sob a ação de uma força variável $ \mathrm{F}(x) = 3x^2 $ Newtons. O objetivo é descobrir o trabalho realizado por essa força quando a partícula se move de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ metros. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de trabalho na física e como calcular o trabalho de uma força que varia com a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho. Na física, o trabalho $ W $ realizado por uma força é definido como a integral da força ao longo do deslocamento. Quando a força é constante, é só multiplicar a força pela distância. Mas aqui, a força depende da posição $ x $, então precisamos integrar essa força desde o ponto inicial até o ponto final.
Passo 3
A fórmula geral para o trabalho de uma força variável é:
Onde:
- $ W $ é o trabalho
- $ \mathrm{F}(x) $ é a força em função de $ x $
- $ x_i $ é a posição inicial
- $ x_f $ é a posição final
No nosso caso, $ \mathrm{F}(x) = 3x^2 $, $ x_i = 0 $ e $ x_f = 2 $ metros.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos calcular essa integral. A integral de $ 3x^2 $ em relação a $ x $ é:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Resposta
O trabalho realizado pela força ao mover a partícula de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ metros é de 8 Joules.