Uma partícula de massa m se desloca ao longo do eixo x sob a ação de uma força variável dada por F(x)=3 x^2 (em Newtons). Determine o trabalho realizado por essa força ao mover a partícula de x=0 até x=2 m

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma partícula de massa $ m $ que se move ao longo do eixo $ x $ sob a ação de uma força variável $ \mathrm{F}(x) = 3x^2 $ Newtons. O objetivo é descobrir o trabalho realizado por essa força quando a partícula se move de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ metros. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de trabalho na física e como calcular o trabalho de uma força que varia com a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho. Na física, o trabalho $ W $ realizado por uma força é definido como a integral da força ao longo do deslocamento. Quando a força é constante, é só multiplicar a força pela distância. Mas aqui, a força depende da posição $ x $, então precisamos integrar essa força desde o ponto inicial até o ponto final.

Passo 3

A fórmula geral para o trabalho de uma força variável é:
W = integralxi^xf F(x) , dx
Onde:
  • $ W $ é o trabalho
  • $ \mathrm{F}(x) $ é a força em função de $ x $
  • $ x_i $ é a posição inicial
  • $ x_f $ é a posição final
No nosso caso, $ \mathrm{F}(x) = 3x^2 $, $ x_i = 0 $ e $ x_f = 2 $ metros.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
W = integral0^2 3x^2 , dx
Agora, precisamos calcular essa integral. A integral de $ 3x^2 $ em relação a $ x $ é:
3x^2

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
W = [ x^3 ]0^2 = (2)^3 - (0)^3 = 8 - 0 = 8

Resposta

O trabalho realizado pela força ao mover a partícula de $ x = 0 $ até $ x = 2 $ metros é de 8 Joules.

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