Determinar a função inversa para f(x)=x^2x^2+1
Dica: Verificar o D(f) como ponto de partida

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a função inversa de $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 1} $. Isso envolve entender conceitos de funções e suas inversas. Para resolver, vamos precisar usar álgebra básica e conhecimento sobre funções quadráticas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa de $ f(x) $ é aquela que “desfaz” o que $ f(x) $ faz. Ou seja, se $ y = f(x) $, então a inversa nos dá $ x $ em termos de $ y $. Para encontrar a inversa, vamos começar substituindo $ f(x) $ por $ y $:
f(x)

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação para $ x $. Vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por $ x^{2} + 1 $ para eliminar o denominador:
x

Passo 4

Distribuindo o $ y $ na expressão:
y
Vamos reorganizar os termos para agrupar os que têm $ x^{2} $:
yx^2 + y = x^2

Passo 5

Fatorando $ x^{2} $ nos dois primeiros termos:
x^2
Isolando $ x^{2} $:
x^2(y - 1) + y = 0
x^2

Passo 6

Para encontrar $ x $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
x
É importante notar que a função original $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 1} $ não é injetora em todo o seu domínio, pois valores positivos e negativos de $ x $ dão o mesmo resultado. Portanto, para que a inversa exista, precisamos restringir o domínio de $ f(x) $. Vamos considerar $ x \geq 0 $, para garantir que a função seja injetora e a inversa seja válida.

Resposta

A função inversa de $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 1} $, com $ x \geq 0 $, é:
f(x) = x^2x^2 + 1

Exercícios relacionados