Determinar a função inversa para
Dica: Verificar o
como ponto de partida
Dica: Verificar o
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a função inversa de $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 1} $. Isso envolve entender conceitos de funções e suas inversas. Para resolver, vamos precisar usar álgebra básica e conhecimento sobre funções quadráticas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa de $ f(x) $ é aquela que “desfaz” o que $ f(x) $ faz. Ou seja, se $ y = f(x) $, então a inversa nos dá $ x $ em termos de $ y $. Para encontrar a inversa, vamos começar substituindo $ f(x) $ por $ y $:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação para $ x $. Vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por $ x^{2} + 1 $ para eliminar o denominador:
Passo 4
Distribuindo o $ y $ na expressão:
Vamos reorganizar os termos para agrupar os que têm $ x^{2} $:
Passo 5
Fatorando $ x^{2} $ nos dois primeiros termos:
Isolando $ x^{2} $:
Passo 6
Para encontrar $ x $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
É importante notar que a função original $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 1} $ não é injetora em todo o seu domínio, pois valores positivos e negativos de $ x $ dão o mesmo resultado. Portanto, para que a inversa exista, precisamos restringir o domínio de $ f(x) $. Vamos considerar $ x \geq 0 $, para garantir que a função seja injetora e a inversa seja válida.
Resposta
A função inversa de $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 1} $, com $ x \geq 0 $, é: