Uma esfera de raio
está carregada com uma densidade volumétrica de cargas
num sistema de referência onde o eixo
passa pelo polo norte dela. Determine:
a) O momento de dipolo elétrico da esfera;
b) campo
o potencial num ponto sobre
eixo
muito distante da esfera;
c) campo e o potencial num ponto sobre o eixo
muito distante da esfera.
d) A mesma esfera é colocada numa região onde existe uma linha infinita carregada com uma carga de densidade uniforme
a uma distância
(da linha ao centro da esfera). A posição da esfera é tal que seu vetor momento de dipolo é paralelo à linha carregada. Determine a energia necessária para girar a esfera de maneira que seu momento de dipolo fique perpendicular à linha.
a) O momento de dipolo elétrico da esfera;
b) campo
c) campo e o potencial num ponto sobre o eixo
d) A mesma esfera é colocada numa região onde existe uma linha infinita carregada com uma carga de densidade uniforme
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio
com densidade volumétrica de carga
em coordenadas esféricas onde o eixo
passa pelo polo norte. Pede-se:
a) o momento de dipolo elétrico da esfera;
b) o potencial e o campo em um ponto sobre o eixo muito distante da esfera (
);
c) o potencial e o campo em um ponto sobre o eixo muito distante da esfera (
);
d) colocando-se a esfera próxima a uma linha infinita com densidade linear a distância
(do centro da esfera até a linha), e com o momento de dipolo da esfera paralelo à linha, determinar a energia necessária para girar a esfera de modo que seu momento de dipolo fique perpendicular à linha.
a) o momento de dipolo elétrico da esfera;
b) o potencial e o campo em um ponto sobre o eixo
c) o potencial e o campo em um ponto sobre o eixo
d) colocando-se a esfera próxima a uma linha infinita com densidade linear
Informações relevantes fornecidas:
- Raio da esfera:
. - Densidade de carga:
para . - Eixos:
atravessa o polo norte (logo a dependência em indica simetria em torno do eixo ). - Linha infinita com densidade linear
a distância . - Aproximações pedidas: pontos muito distantes da esfera (
) e para a linha.
Passo 2
Conceito e fórmula do momento de dipolo: o momento de dipolo elétrico de uma distribuição contínua de carga é o vetor
onde
é o vetor posição de cada elemento de volume e
é o volume diferencial. Aqui vamos calcular a componente ao longo de
(as outras serão zero por simetria) porque a densidade tem fator
e é azimutalmente simétrica. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
e a componente
de
é
. Portanto
Passo 3
Substituímos
e
na expressão de
:
Agora simplificamos fatores de
:
Expliquei: o
de
cancela o
do denominador em
, sobrando um único fator
da componente
.
Passo 4
Calculamos cada integral separadamente.
Radial:
Radial:
Azimutal:
Polar (muito comum; faço passo a passo): use
, então
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Passo 5
Juntando tudo:
Simplificando termos:
Portanto o vetor momento de dipolo, que está ao longo do eixo
, é
Passo 6
Agora a far-field (região muito distante,
) é dominada pelo termo dipolar (porque a carga total da esfera é zero — pode-se verificar integrando
sobre o volume, que dá zero). A expansão multipolar dá, para o potencial devido ao dipolo,
e o campo elétrico correspondente (do termo dipolar) em coordenadas esféricas é
Explicando:
é o versor radial,
é o versor polar; o potencial do dipolo depende de
e cai como
; o campo resultante cai como
.
Passo 7
Aplicamos isso para um ponto sobre o eixo
à distância
. Nesse caso
e
. Substituindo
obtemos o potencial:
E o campo axial (direção
) é
Observe que para pontos no eixo
o campo é puramente axial.
Passo 8
Agora para um ponto sobre o eixo
(plano equatorial da distribuição dipolar) a uma distância
. Nesse caso o ângulo polar é
, logo
. Portanto o potencial dipolar no ponto equatorial é nulo no termo dominante:
O campo, contudo, tem componente
não nula; no plano equatorial
e
com
. Em coordenadas cartesianas, para um ponto em
temos
. Assim o campo é
Resumindo: potencial praticamente zero (no primeiro termo não-nulo) e campo apontando na direção
com magnitude
.
Passo 9
Parte (d): campo gerado pela linha infinita e energia de interação com o dipolo.
Campo da linha infinita de densidade linear
a distância
é radial (perpendicular à linha) e tem magnitude
Aqui
(dado), logo
Energia de interação de um dipolo
num campo elétrico uniforme
é
Como
, podemos aproximar o campo da linha por uniforme na escala da esfera e usar essa fórmula. Inicialmente o problema diz que
está paralelo à linha; o campo da linha é perpendicular à linha, então inicialmente
e
Ao girar a esfera de modo que
fique perpendicular à linha, então
fica paralelo (ou antiparalelo) a
. Para a orientação paralela a
temos
para a orientação antiparalela (momento apontando na direção oposta ao campo) temos
A energia (trabalho) que o agente externo precisa fornecer para realizar a rotação lentamente é a variação
. Portanto:
- Se o dipolo ficar alinhado com o campo (paralelo a
), (energia diminui; o agente não precisa dar energia, o sistema libera energia). - Se o dipolo ficar anti-alinhado com o campo (oposto a
), (é preciso fornecer energia igual a ).
Agora substituímos
e
. O produto é
Portanto o módulo da variação de energia é
. Em palavras: girar de
linha para
perpendicular e apontando contra o campo exige fornecer energia
; girar para a orientação paralela ao campo libera essa mesma quantidade de energia.
Resposta
(a)
(b) Para
:
(c) Para
:
(d) Com
e
, o campo da linha em
é
. O produto
. Logo:
- Para girar até a orientação perpendicular e anti-alinhada ao campo (orientação que aumenta a energia): energia necessária
- Para girar até a orientação perpendicular e alinhada ao campo (orientação que diminui a energia):
(o sistema libera energia).