Uma partícula de massa
se encontra em um poço quadrado infinito cujo potencial é dado por
Como este potencial é simétrico em relação à origem, a densidade de probabilidade,
, também deve ser simétrica. Mostre que isso significa que
ou
.
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos uma partícula de massa
num “poço” de potencial que vale zero entre
e
, e “vai pra infinito” fora dessa região (na prática aqui ele cresce como
, mas o ponto é que é simétrico em
). A ideia é usar a teoria de mecânica quântica (equação de Schrödinger independente do tempo) e a noção de simetria de paridade para mostrar que qualquer função de onda estacionária
satisfaz
O que vamos precisar:
- A equação de Schrödinger estacionária
- O fato de que
(potencial par) - A ideia de que, se um operador (aqui o Hamiltoniano) comuta com a paridade, podemos escolher autoestados de paridade.
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo:
Como
é par, ou seja
, se eu substituir
na equação acima, obtenho exatamente a mesma forma:
Mas note que
.
Então também satisfaz a mesma equação com o mesmo
. Concluímos:
se é solução com energia
, então
também é solução para a MESMA energia.
Então
se
Passo 3
Agora, em geral, se temos duas soluções (independentes) de uma equação linear de segunda ordem, qualquer combinação linear delas também é solução. Ou seja, a gente pode formar
É fácil ver que
(função par)
e
(função ímpar).
Como a equação de Schrödinger é linear, e
continuam sendo soluções com a mesma energia
. Isso mostra que podemos escolher as autoestados do Hamiltoniano com paridade bem definida: ou par (
) ou ímpar (
).
e
Como a equação de Schrödinger é linear,
Resposta
As funções de onda estacionárias têm ou paridade par ou paridade ímpar. Logo