Uma partícula de massa m se encontra em um poço quadrado infinito cujo potencial é dado por
ll V=x & x<-L / 2 V=0 & -L / 2
Como este potencial é simétrico em relação à origem, a densidade de probabilidade, |psi(x)|^2, também deve ser simétrica. Mostre que isso significa que psi(-x)=psi(x) ou psi(-x)=-psi(x).

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos uma partícula de massa psi(-x)=+psi(x) ou psi(-x)=-psi(x) num “poço” de potencial que vale zero entre e , e “vai pra infinito” fora dessa região (na prática aqui ele cresce como , mas o ponto é que é simétrico em ). A ideia é usar a teoria de mecânica quântica (equação de Schrödinger independente do tempo) e a noção de simetria de paridade para mostrar que qualquer função de onda estacionária satisfaz
O que vamos precisar:
  • A equação de Schrödinger estacionária
  • O fato de que (potencial par)
  • A ideia de que, se um operador (aqui o Hamiltoniano) comuta com a paridade, podemos escolher autoestados de paridade.

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo:
-hbar^22m,d^2psi(x)dx^2 + V(x),psi(x) ;=; E,psi(x)
Como -hbar^22m,d^2d(-x)^2l[psi(-x)r] + V(-x),psi(-x) = E,psi(-x) é par, ou seja , se eu substituir na equação acima, obtenho exatamente a mesma forma:
Mas note que
.
Então também satisfaz a mesma equação com o mesmo . Concluímos:
se é solução com energia , então também é solução para a MESMA energia.

Passo 3

Agora, em geral, se temos duas soluções (independentes) de uma equação linear de segunda ordem, qualquer combinação linear delas também é solução. Ou seja, a gente pode formar
psi+(x) = psi(x) + psi(-x)2 e psi-(x) = psi(x) - psi(-x)2
É fácil ver que
(função par)
e
(função ímpar).
Como a equação de Schrödinger é linear, e continuam sendo soluções com a mesma energia . Isso mostra que podemos escolher as autoestados do Hamiltoniano com paridade bem definida: ou par ( ) ou ímpar ( ).

Resposta

As funções de onda estacionárias têm ou paridade par ou paridade ímpar. Logo
boxedpsi(-x)=+psi(x)oupsi(-x)=-psi(x)

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