Uma partícula de massa m incia um movimento sob a ação de uma força gamma0 t. Após um intervalo de tempo t0 a força assume a forma constante gamma0 t0.
(a) Esboce o gráfico F(t) e calcule a posição em função do tempo, x(t), para t <= t0.
(b) Calcule a velocidade da partícula em t=2 t0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: “Temos uma partícula de massa que, enquanto , sente uma força que cresce com o tempo, . Depois de , essa força para de crescer e vira uma constante .”
Conteúdo: Dinâmica (Lei de Newton ), cinemática (relações , e integrações). Vamos precisar usar para achar a aceleração, depois integrar para obter velocidade e posição.

Passo 2

(a) Primeiro, pinta o gráfico de F(t)=m,a(t)Longrightarrow a(t)=F(t)m=gamma0,tm:
  • De v(t)=integral0^t a(t'),dt'=integral0^tgamma0,t'mdt' =gamma0m,t^22 =gamma0,t^22m até x(t)=integral0^t v(t'),dt' =integral0^tgamma0,t'^22mdt' =gamma02m,t^33 =gamma0,t^36m, é uma reta subindo de zero até .
  • Para , é uma linha horizontal em .
Agora, para , fazemos:
  1. Lei de Newton:
  2. Velocidade: integração de . Admitindo ,
  3. Posição: integra de a , com ,

Passo 3

(b) Para a=Fm=gamma0,t0m (constante), a força é constante v(2t0)=v(t0)+a,(2t0-t0). Logo
v(t0)=gamma0,t0^22m,
A velocidade em a,(2t0-t0)=gamma0,t0mcdot t0 =gamma0,t0^2m é
v(2t0) =gamma0,t0^22m+gamma0,t0^2m =gamma0,t0^22m+2gamma0,t0^22m =3gamma0,t0^22m
A gente já sabe que
e
Somando:

Resposta

(a) Gráfico: reta de inclinação x(t)=gamma0,t^36m, t<= t0 até v(2t0)=3,gamma0,t0^22m, depois horizontal em .
(b)

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