Uma partícula de massa
incia um movimento sob a ação de uma força
. Após um intervalo de tempo
a força assume a forma constante
.
(a) Esboce o gráfico
e calcule a posição em função do tempo,
, para
.
(b) Calcule a velocidade da partícula em
.
(a) Esboce o gráfico
(b) Calcule a velocidade da partícula em
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem uma partícula de massa
que, de
até
, sofre uma força que cresce como
Depois de
Conteúdo: segunda lei de Newton (
O que a gente precisa usar:
-
- integrar
- integrar
- aplicar condições iniciais (geralmente
A seguir, começamos a resolver de fato.
Passo 2
Primeiro, o esboço de
:
- De
até , a curva é crescente e suave, parecida com (começa em zero, sobe rápido). - Em
ela atinge e daí em diante fica uma reta horizontal (constante).
Então o gráfico é uma “campainha” que sobe até
e depois vira linha reta.
Passo 3
Agora vamos achar
para
.
- Aceleração:
- Velocidade integrando
(e sabendo que ):
$$v(t)=\int_0^t a(t’),dt’ = \int_0^t \frac{\gamma_0}{m},{t’}^4,dt’
=\frac{\gamma_0}{m},\frac{t^5}{5},. $$
- Posição integrando
(e sabendo que ):
Logo, para
:
Passo 4
Agora (b): achar
em
.
- Em
, a velocidade é
- Para
- A partir de
até a velocidade cresce linearmente:
$$v(2t_0)=v(t_0)+a_{\rm const},(2t_0 - t_0)
=\frac{\gamma_0}{5m},t_0^5 + \frac{\gamma_0,t_0^4}{m},(t_0),.
v(2t_0)
=\frac{\gamma_0}{5m},t_0^5 + \frac{\gamma_0}{m},t_0^5
=\frac{\gamma_0}{m},\Bigl(\frac15+1\Bigr),t_0^5
=\frac{\gamma_0}{m},\Bigl(\frac15+1\Bigr),t_0^5
=\frac{6}{5},\frac{\gamma_0}{m},t_0^5,. $$
Resposta
Para
:
E a velocidade em