Uma partícula de massa m incia um movimento sob a ação de uma força gamma0 t^4. Após um intervalo de tempo t0 a força assume a forma constante gamma0 t0^4.
(a) Esboce o gráfico F(t) e calcule a posição em função do tempo, x(t), para t <= t0.
(b) Calcule a velocidade da partícula em t=2 t0.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem uma partícula de massa m que, de t=0 até t=t0, sofre uma força que cresce como
F(t)=gamma0,t^4,
Depois de t0 a força vira constante, valendo F=gamma0,t0^4.
Conteúdo: segunda lei de Newton ( F=ma) e integrações pra obter velocidade e posição.
O que a gente precisa usar:
- a(t)=F(t)/m,
- integrar a(t) pra achar v(t),
- integrar v(t) pra achar x(t),
- aplicar condições iniciais (geralmente v(0)=0, x(0)=0).
A seguir, começamos a resolver de fato.

Passo 2

Primeiro, o esboço de F(t):
  • De t=0 até t0, a curva é crescente e suave, parecida com t^4 (começa em zero, sobe rápido).
  • Em t=t0 ela atinge F=gamma0,t0^4 e daí em diante fica uma reta horizontal (constante).
Então o gráfico é uma “campainha” que sobe até t0 e depois vira linha reta.

Passo 3

Agora vamos achar x(t) para t<= t0.
  1. Aceleração:
a(t)=F(t)m = gamma0m,t^4,
  1. Velocidade integrando a(t) (e sabendo que v(0)=0):
$$v(t)=\int_0^t a(t’),dt’ = \int_0^t \frac{\gamma_0}{m},{t’}^4,dt’
=\frac{\gamma_0}{m},\frac{t^5}{5},. $$
  1. Posição integrando v(t)=integral0^t a(t'),dt' = integral0^t gamma0m,t'^4,dt' =gamma0m,t^55, (e sabendo que v(t)):
x(0)=0
Logo, para x(t)=integral0^t v(t'),dt' =integral0^t gamma0m,t'^55,dt' =gamma0m,t^630, :
t<= t0

Passo 4

Agora (b): achar v em t=2t0.
  • Em t=t0, a velocidade é
v(t0)=gamma0m,t0^55,
- Para t>t0 a força é constante F=gamma0,t0^4, então a aceleração passa a ser
arm const=gamma0,t0^4m,
  • A partir de t0 até 2t0 a velocidade cresce linearmente:
$$v(2t_0)=v(t_0)+a_{\rm const},(2t_0 - t_0)
=\frac{\gamma_0}{5m},t_0^5 + \frac{\gamma_0,t_0^4}{m},(t_0),. v(2t0)=v(t0)+arm const,(2t0 - t0) =gamma05m,t0^5 + gamma0,t0^4m,(t0), v(2t_0)
=\frac{\gamma_0}{5m},t_0^5 + \frac{\gamma_0}{m},t_0^5
=\frac{\gamma_0}{m},\Bigl(\frac15+1\Bigr),t_0^5
=\frac{6}{5},\frac{\gamma_0}{m},t_0^5,. $$

Resposta

Para t<= t0:
x(t)=gamma030,m;t^6,
E a velocidade em t=2t0 é
v(2t0)=65;gamma0m;t0^5,

Exercícios relacionados