Verifique se as forças abaixo são conservativas ou não:

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente verificar se a força

é conservativa ou não.
Conteúdo: campo vetorial e força conservativa.
O que a gente vai precisar:
  • Saber que um campo em um domínio simplesmente conectado é conservativo se e só se seu rotacional (curl) for zero:
    .
  • Calcular esse rotacional componente a componente.

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição de rotacional em coordenadas cartesianas:
nabla times vec F = hat x & hat y & hat z partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z Fx & Fy & Fz
Aqui , , . Vamos achar cada componente:

Passo 3

Componente em (nablatimes vec F)x = partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial (z^2)partial y - partial (2xy)partial z = 0 - 0 = 0 :

Passo 4

Componente em (nablatimes vec F)y = partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partial (2x+y^2)partial z - partial (z^2)partial x = 0 - 0 = 0 :

Passo 5

Componente em (nablatimes vec F)z = partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial (2xy)partial x - partial (2x+y^2)partial y = 2y ;-; 2y = 0 :

Resposta

Como todos os componentes do rotacional deram zero e o domínio é todo nabla times vec F = vec 0 Longrightarrow vec F é conservativa (simplesmente conectado), concluímos que
é

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