Verifique se as forças abaixo são conservativas ou não:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente verificar se a força
é conservativa ou não.
Conteúdo: campo vetorial e força conservativa.
O que a gente vai precisar:
Saber que um campo em um domínio simplesmente conectado é conservativo se e só se seu rotacional (curl) for zero: .
Calcular esse rotacional componente a componente.
Passo 2
Primeiro, lembrando a definição de rotacional em coordenadas cartesianas:
Aqui , , . Vamos achar cada componente:
Passo 3
Componente em (nablatimes vec F)x = partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial (z^2)partial y - partial (2xy)partial z = 0 - 0 = 0 :
Passo 4
Componente em (nablatimes vec F)y = partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partial (2x+y^2)partial z - partial (z^2)partial x = 0 - 0 = 0 :
Passo 5
Componente em (nablatimes vec F)z = partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial (2xy)partial x - partial (2x+y^2)partial y = 2y ;-; 2y = 0 :
Resposta
Como todos os componentes do rotacional deram zero e o domínio é todo nabla times vec F = vec 0 Longrightarrow vec F é conservativa (simplesmente conectado), concluímos que