QUEST. 3) Seja
a) Determine uma expressão para a densidade volumétrica de cargas;
b) Determine a carga total contida em um cubo definido por
a) Determine uma expressão para a densidade volumétrica de cargas;
b) Determine a carga total contida em um cubo definido por
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede duas coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que preciso encontrar.
Dado:
Perguntas:
- (a) Determinar uma expressão para a densidade volumétrica de cargas (ou seja,
) dentro do material. - (b) Determinar a carga total contida no cubo definido por
, , (unidades em metros).
Observação: eu não vou resolver nada aqui — só organizei o que foi pedido e o que foi dado.
Passo 2
Entendendo o que conectar: qual grandeza usar para obter a densidade de carga a partir de
. A lei de Maxwell que relaciona
com a densidade de cargas livres é
Explicando isso de modo simples:
(o divergente de
) mede a “taxa de saída” do fluxo de
por unidade de volume; onde há mais saída do que entrada, existe carga positiva; onde há mais entrada que saída, existe carga negativa. Portanto, para achar
basta calcular o divergente de
.
Passo 3
Recordando a definição prática do divergente em coordenadas cartesianas: se
então
Aqui cada termo é uma derivada parcial: por exemplo
significa “derivar
tratando
e
como constantes”.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso
. Primeiro identifico as componentes:
Agora calculo cada derivada parcial, explicando cada passo:
Derivando em relação a
:
Aqui
é constante em relação a
, então a derivada de
é
. Logo
Derivando em relação a
:
Aqui
é constante em relação a
, e a derivada de
é
. Logo
Derivando em relação a
:
Aqui
é constante em relação a
, e a derivada de
é
. Logo
Passo 5
Somando as três derivadas para obter o divergente e, portanto, a densidade volumétrica de carga:
Não esqueça a unidade: como
tem unidade
e divergente adiciona uma divisão por comprimento,
tem unidade
.
Passo 6
Agora vamos para a parte (b): carga total no cubo. A carga total
é a integral do volume da densidade:
No nosso caso,
Explicando a estratégia: a integral tripla é linear, então posso separar em três integrais. Além disso cada termo é produto de funções que dependem cada uma em variáveis diferentes, então cada integral se separa em produto de integrais unidimensionais — isso facilita muito o cálculo.
Passo 7
Calculo cada termo separadamente.
Termo A:
Agora calculo cada integral unidimensional:
Multiplicando:
Termo B (simétrico ao anterior, pois muda apenas a variável que aparece isolada):
Então
Termo C (também simétrico):
Então
Passo 8
Somando os três termos para obter
:
Simplificando a fração:
A unidade é Coulombs, então
.
Resposta
(a)
(b)
(b)