QUEST. 3) Seja \boldsymbol{D}=x y^{2} z^{2} \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{x}}+x^{2} y z^{2} \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{y}}+ x^{2} y^{2} z \hat{\mathrm{a}}_{z} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} .(\mathbf{2 , 5})
a) Determine uma expressão para a densidade volumétrica de cargas; (1,25)
b) Determine a carga total contida em um cubo definido por 0 \leq \mathrm{x} \leq 2 ; 0 \leq \mathrm{y} \leq 2 \mathrm{e} 0 \leq \mathrm{z} \leq 2 \mathrm{~m} .(1,25)

Passo 1

O enunciado dá o vetor \mathbf{D} e pede duas coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que preciso encontrar.
Dado:
\mathbf{D} = x y^{2} z^{2} \,\hat{a}_x + x^{2} y z^{2}\,\hat{a}_y + x^{2} y^{2} z \,\hat{a}_z \quad \text{(unidade: C/m}^2\text{)}
Perguntas:
  1. (a) Determinar uma expressão para a densidade volumétrica de cargas (ou seja, \rho(\mathbf{r})) dentro do material.
  2. (b) Determinar a carga total contida no cubo definido por 0 \le x \le 2, 0 \le y \le 2, 0 \le z \le 2 (unidades em metros).
Observação: eu não vou resolver nada aqui — só organizei o que foi pedido e o que foi dado.

Passo 2

Entendendo o que conectar: qual grandeza usar para obter a densidade de carga a partir de \mathbf{D}. A lei de Maxwell que relaciona \mathbf{D} com a densidade de cargas livres é
\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{\text{free}}.
Explicando isso de modo simples: \nabla\cdot\mathbf{D} (o divergente de \mathbf{D}) mede a “taxa de saída” do fluxo de \mathbf{D} por unidade de volume; onde há mais saída do que entrada, existe carga positiva; onde há mais entrada que saída, existe carga negativa. Portanto, para achar \rho basta calcular o divergente de \mathbf{D}.

Passo 3

Recordando a definição prática do divergente em coordenadas cartesianas: se
\mathbf{D} = D_x(x,y,z)\,\hat{a}_x + D_y(x,y,z)\,\hat{a}_y + D_z(x,y,z)\,\hat{a}_z,
então
\nabla\cdot\mathbf{D} = \frac{\partial D_x}{\partial x} + \frac{\partial D_y}{\partial y} + \frac{\partial D_z}{\partial z}.
Aqui cada termo é uma derivada parcial: por exemplo \partial D_x/\partial x significa “derivar D_x tratando y e z como constantes”.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso \mathbf{D}. Primeiro identifico as componentes:
D_x = x y^{2} z^{2},\qquad D_y = x^{2} y z^{2},\qquad D_z = x^{2} y^{2} z.
Agora calculo cada derivada parcial, explicando cada passo:
Derivando em relação a x:
\frac{\partial D_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x y^{2} z^{2}\big).
Aqui y^{2} z^{2} é constante em relação a x, então a derivada de x é 1. Logo
\frac{\partial D_x}{\partial x} = y^{2} z^{2}.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial D_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2} y z^{2}\big).
Aqui x^{2} z^{2} é constante em relação a y, e a derivada de y é 1. Logo
\frac{\partial D_y}{\partial y} = x^{2} z^{2}.
Derivando em relação a z:
\frac{\partial D_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2} y^{2} z\big).
Aqui x^{2} y^{2} é constante em relação a z, e a derivada de z é 1. Logo
\frac{\partial D_z}{\partial z} = x^{2} y^{2}.

Passo 5

Somando as três derivadas para obter o divergente e, portanto, a densidade volumétrica de carga:
\rho(\mathbf{r}) = \nabla\cdot\mathbf{D} = y^{2} z^{2} + x^{2} z^{2} + x^{2} y^{2}.
Não esqueça a unidade: como \mathbf{D} tem unidade \mathrm{C/m}^2 e divergente adiciona uma divisão por comprimento, \rho tem unidade \mathrm{C/m}^3.

Passo 6

Agora vamos para a parte (b): carga total no cubo. A carga total Q é a integral do volume da densidade:
Q = \iiint_{\text{cubo}} \rho(x,y,z)\,dV.
No nosso caso,
Q = \int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{2} \big(y^{2} z^{2} + x^{2} z^{2} + x^{2} y^{2}\big)\,dx\,dy\,dz.
Explicando a estratégia: a integral tripla é linear, então posso separar em três integrais. Além disso cada termo é produto de funções que dependem cada uma em variáveis diferentes, então cada integral se separa em produto de integrais unidimensionais — isso facilita muito o cálculo.

Passo 7

Calculo cada termo separadamente.
Termo A:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{2} y^{2} z^{2}\,dx\,dy\,dz = \left(\int_{0}^{2} dx\right)\left(\int_{0}^{2} y^{2}\,dy\right)\left(\int_{0}^{2} z^{2}\,dz\right).
Agora calculo cada integral unidimensional:
\int_{0}^{2} dx = 2,
\int_{0}^{2} y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3},
\int_{0}^{2} z^{2}\,dz = \left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}.
Multiplicando:
\text{Termo A} = 2\cdot\frac{8}{3}\cdot\frac{8}{3} = 2\cdot\frac{64}{9} = \frac{128}{9}.
Termo B (simétrico ao anterior, pois muda apenas a variável que aparece isolada):
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{2} x^{2} z^{2}\,dx\,dy\,dz = \left(\int_{0}^{2} dy\right)\left(\int_{0}^{2} x^{2}\,dx\right)\left(\int_{0}^{2} z^{2}\,dz\right).
\int_{0}^{2} dy = 2,\quad \int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \frac{8}{3},\quad \int_{0}^{2} z^{2}\,dz = \frac{8}{3},
Então
\text{Termo B} = 2\cdot\frac{8}{3}\cdot\frac{8}{3} = \frac{128}{9}.
Termo C (também simétrico):
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{2} x^{2} y^{2}\,dx\,dy\,dz = \left(\int_{0}^{2} z\,dz\right)\left(\int_{0}^{2} x^{2}\,dx\right)\left(\int_{0}^{2} y^{2}\,dy\right).
\int_{0}^{2} z\,dz = 2,\quad \int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \frac{8}{3},\quad \int_{0}^{2} y^{2}\,dy = \frac{8}{3},
Então
\text{Termo C} = 2\cdot\frac{8}{3}\cdot\frac{8}{3} = \frac{128}{9}.

Passo 8

Somando os três termos para obter Q:
Q = \text{Termo A} + \text{Termo B} + \text{Termo C} = 3\cdot\frac{128}{9} = \frac{384}{9}.
Simplificando a fração:
\frac{384}{9} = \frac{128}{3}.
A unidade é Coulombs, então Q = \dfrac{128}{3}\,\mathrm{C}.

Resposta

(a) \rho(x,y,z)=y^{2} z^{2} + x^{2} z^{2} + x^{2} y^{2}\\ \mathrm{C/m^{3}}
(b) Q=\dfrac{128}{3}\\ \mathrm{C}

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