Uma partícula de massa
se move na horizontal sujeita à uma força de atrito dependente da velocidade
dada por
, onde A e
são constantes positivas. Supondo uma velocidade inicial
, calcule:
(a) a velocidade da partícula em função do tempo;
(b) quanto tempo a partícula gasta para atingir o repouso.
(a) a velocidade da partícula em função do tempo;
(b) quanto tempo a partícula gasta para atingir o repouso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula de massa $ m $ se movendo na horizontal, com uma força de atrito que depende da velocidade, dada por $ F(v) = -A e^{\alpha v} $. O que queremos descobrir aqui são duas coisas:
(a) A velocidade da partícula em função do tempo.
(b) Quanto tempo a partícula leva para parar.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Também vamos precisar resolver uma equação diferencial, já que a força depende da velocidade, que por sua vez depende do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante $ F $ sobre um objeto é igual à massa $ m $ multiplicada pela aceleração $ a $:
Como a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
Portanto, a equação fica:
Passo 3
Dado que a força de atrito é $ F(v) = -A e^{\alpha v} $, substituímos na equação:
Agora, vamos isolar os termos que dependem de $ v $ de um lado e os que dependem de $ t $ do outro:
Isso nos leva a uma equação diferencial separável, que podemos reescrever como:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar $ v $ em função de $ t $.
Integrando o lado esquerdo em relação a $ v $:
E integrando o lado direito em relação a $ t $:
Igualando as integrais:
Passo 5
Vamos resolver para $ e^{-\alpha v} $:
Agora, aplicamos a condição inicial. Quando $ t = 0 $, a velocidade é $ v_0 $:
Portanto, nossa equação fica:
Passo 6
Resolvendo para $ v $:
Primeiro, isolamos $ e^{-\alpha v} $:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Finalmente, isolamos $ v $:
Passo 7
Agora, para a parte (b), queremos saber quanto tempo a partícula leva para atingir o repouso, ou seja, quando $ v(t) = 0 $.
Usando a expressão que encontramos:
Multiplicando ambos os lados por $ -\alpha $:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Resolvendo para $ t $:
Resposta
O tempo que a partícula leva para atingir o repouso é: