Uma partícula de massa m se move na horizontal sujeita à uma força de atrito dependente da velocidade v dada por F(v)=-A e^alpha v, onde A e alpha são constantes positivas. Supondo uma velocidade inicial v0, calcule:
(a) a velocidade da partícula em função do tempo;
(b) quanto tempo a partícula gasta para atingir o repouso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula de massa $ m $ se movendo na horizontal, com uma força de atrito que depende da velocidade, dada por $ F(v) = -A e^{\alpha v} $. O que queremos descobrir aqui são duas coisas:
(a) A velocidade da partícula em função do tempo.
(b) Quanto tempo a partícula leva para parar.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Também vamos precisar resolver uma equação diferencial, já que a força depende da velocidade, que por sua vez depende do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante $ F $ sobre um objeto é igual à massa $ m $ multiplicada pela aceleração $ a $:
F
Como a aceleração $ a $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
m
Portanto, a equação fica:
a

Passo 3

Dado que a força de atrito é $ F(v) = -A e^{\alpha v} $, substituímos na equação:
F(v) = -A e^alpha v
Agora, vamos isolar os termos que dependem de $ v $ de um lado e os que dependem de $ t $ do outro:
-A e^alpha v = m dvdt
Isso nos leva a uma equação diferencial separável, que podemos reescrever como:
v

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar $ v $ em função de $ t $.
Integrando o lado esquerdo em relação a $ v $:
v
E integrando o lado direito em relação a $ t $:
t
Igualando as integrais:
v

Passo 5

Vamos resolver para $ e^{-\alpha v} $:
e^-alpha v
Agora, aplicamos a condição inicial. Quando $ t = 0 $, a velocidade é $ v_0 $:
e^-alpha v = A alpham t + C'
Portanto, nossa equação fica:
t = 0

Passo 6

Resolvendo para $ v $:
Primeiro, isolamos $ e^{-\alpha v} $:
v
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
e^-alpha v
Finalmente, isolamos $ v $:
e^-alpha v = A alpham t + e^-alpha v0

Passo 7

Agora, para a parte (b), queremos saber quanto tempo a partícula leva para atingir o repouso, ou seja, quando $ v(t) = 0 $.
Usando a expressão que encontramos:
v(t) = 0
Multiplicando ambos os lados por $ -\alpha $:
0 = -1alpha ln( A alpham t + e^-alpha v0 )
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
-alpha
Resolvendo para $ t $:
ln( A alpham t + e^-alpha v0 ) = 0
A alpham t + e^-alpha v0 = e^0 = 1

Resposta

O tempo que a partícula leva para atingir o repouso é:
t = mA alpha ( 1 - e^-alpha v0 )

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