Uma partícula move-se em uma trajetória dada por:
Calcule:
(a) a velocidade escalar;
(b) a aceleração;
© o ângulo entre velocidade e a posição.
(a) a velocidade escalar;
(b) a aceleração;
© o ângulo entre velocidade e a posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move seguindo a trajetória dada por
Nosso objetivo aqui é calcular três coisas:
a) A velocidade escalar (ou seja, a rapidez da partícula),
b) A aceleração dela,
c) E o ângulo entre a velocidade e a posição da partícula.
a) A velocidade escalar (ou seja, a rapidez da partícula),
b) A aceleração dela,
c) E o ângulo entre a velocidade e a posição da partícula.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, como derivadas de vetores, e também usar algumas fórmulas de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade vetorial da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto porque temos uma função multiplicando outra função.
Passo 3
Vamos calcular a derivada para cada componente:
Para a componente $ \hat{x} $:
Para a componente $ \hat{y} $:
Então, a velocidade vetorial fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade escalar (ou rapidez), que é o módulo da velocidade vetorial:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a velocidade escalar é:
Passo 5
Vamos agora calcular a aceleração vetorial, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente da velocidade:
Para a componente $ \hat{x} $:
Simplificando:
Para a componente $ \hat{y} $:
Simplificando:
Então, a aceleração vetorial é:
Passo 6
Por fim, vamos determinar o ângulo entre a velocidade e a posição. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar $ \vec{v}(t) \cdot \vec{r}(t) $:
Simplificando:
Agora, sabemos que:
E já encontramos que $ |\vec{v}(t)| = \sqrt{b^2 + \omega^2} \cdot e^{bt} $.
Então:
Portanto, o ângulo $ \theta $ é:
Resposta
a) A velocidade escalar é $ |\vec{v}(t)| = \sqrt{b^2 + \omega^2} \cdot e^{bt} $.
b) A aceleração vetorial é
c) O ângulo entre a velocidade e a posição é