Uma partícula move-se em uma trajetória dada por:
r(t)=e^bt[cos (omega t) x+sen(omega t) y]
Calcule:
(a) a velocidade escalar;
(b) a aceleração;
© o ângulo entre velocidade e a posição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move seguindo a trajetória dada por
r(t) = e^bt [ cos(omega t) , x + sin(omega t) , y ]
Nosso objetivo aqui é calcular três coisas:
a) A velocidade escalar (ou seja, a rapidez da partícula),
b) A aceleração dela,
c) E o ângulo entre a velocidade e a posição da partícula.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, como derivadas de vetores, e também usar algumas fórmulas de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade vetorial da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar r(t) em relação a t:
v(t) = dr(t)dt = ddt [ e^bt cos(omega t) , x + e^bt sin(omega t) , y ]
Aqui, usamos a regra do produto porque temos uma função multiplicando outra função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada para cada componente:
Para a componente $ \hat{x} $:
x
Para a componente $ \hat{y} $:
ddt [ e^bt cos(omega t) ] = e^bt ( -omega sin(omega t) + b cos(omega t) )
Então, a velocidade vetorial fica:
y

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade escalar (ou rapidez), que é o módulo da velocidade vetorial:
|v(t)| = raiz ( b cos(omega t) - omega sin(omega t) )^2 + ( b sin(omega t) + omega cos(omega t) )^2 cdot e^bt
Simplificando a expressão dentro da raiz:
(b cos(omega t) - omega sin(omega t))^2 + (b sin(omega t) + omega cos(omega t))^2 = b^2 + omega^2
Então, a velocidade escalar é:
|v(t)| = raizb^2 + omega^2 cdot e^bt

Passo 5

Vamos agora calcular a aceleração vetorial, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Derivando cada componente da velocidade:
Para a componente $ \hat{x} $:
x
Simplificando:
ddt [ e^bt (b cos(omega t) - omega sin(omega t)) ] = e^bt [ b(b cos(omega t) - omega sin(omega t)) - omega ( -b sin(omega t) - omega cos(omega t) ) ]
Para a componente $ \hat{y} $:
ax(t) = e^bt (b^2 cos(omega t) - 2 b omega sin(omega t) - omega^2 cos(omega t))
Simplificando:
y
Então, a aceleração vetorial é:
ddt [ e^bt (b sin(omega t) + omega cos(omega t)) ] = e^bt [ b(b sin(omega t) + omega cos(omega t)) + omega (b cos(omega t) - omega sin(omega t)) ]

Passo 6

Por fim, vamos determinar o ângulo entre a velocidade e a posição. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = v(t) cdot r(t) |v(t)| , |r(t)|
Primeiro, calculamos o produto escalar $ \vec{v}(t) \cdot \vec{r}(t) $:
v(t) cdot r(t)
Simplificando:
v(t) cdot r(t) = e^2bt [ (b cos(omega t) - omega sin(omega t)) cos(omega t) + (b sin(omega t) + omega cos(omega t)) sin(omega t) ]
Agora, sabemos que:
v(t) cdot r(t) = e^2bt (b)
E já encontramos que $ |\vec{v}(t)| = \sqrt{b^2 + \omega^2} \cdot e^{bt} $.
Então:
|r(t)| = e^bt raiz cos^2(omega t) + sin^2(omega t) = e^bt
Portanto, o ângulo $ \theta $ é:
|v(t)| = raizb^2 + omega^2 cdot e^bt

Resposta

a) A velocidade escalar é $ |\vec{v}(t)| = \sqrt{b^2 + \omega^2} \cdot e^{bt} $.
b) A aceleração vetorial é
|v(t)| = raizb^2 + omega^2 cdot e^bt
c) O ângulo entre a velocidade e a posição é
a(t) = e^bt [ (b^2 - omega^2) cos(omega t) - 2 b omega sin(omega t) ] , x + e^bt [ 2 b omega cos(omega t) - (b^2 + omega^2) sin(omega t) ] , y

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