Uma polia de uma máquina de Atwood simples ideal com blocos suspensos de massas m1 e m2 (considere m1>m2 ) é liberada para rolar à partir do repouso, qual o trabalho total realizado pela gravidade sobre os blocos dado um tempo t após a polia ser liberada? E o trabalho total das forças de tração do fio sobre os blocos? (suponha o fio longo o suficiente para que o bloco mais leve não alcance a polia) (Dica: use seus conhecimentos de Leis de Newton e cinemática para calcular os deslocamentos verticais dos blocos)

Passo 1

Então, a gente tem uma máquina de Atwood ideal: dois blocos de massas e (com ) pendurados num fio passando numa polia sem atrito. Soltamos tudo do repouso e deixamos rolar. A tarefa é:
  1. Calcular o trabalho total da força da gravidade nos dois blocos depois de um tempo .
  2. Calcular o trabalho total das forças de tração (tensão do fio) sobre os dois blocos.
O que vamos usar? Leis de Newton (pra achar aceleração e tensão), cinemática (pra achar deslocamentos) e definição de trabalho ( ). Nada de pular etapas, beleza?

Passo 2

Primeiro, a aceleração do sistema. Aplicando a Segunda Lei em cada bloco:
  • Para m1,a + m2,a = m1,g - m2,g Longrightarrow a = m1 - m2m1 + m2,g (desce): .
  • Para (sobe): .
    Somando as duas equações dá
Como saiu positivo, de fato desce e sobe com essa aceleração.

Passo 3

Agora a cinemática: partindo do repouso, o deslocamento de cada bloco em s = tfrac12,a,t^2 é
  • desce de .
  • sobe de .

Passo 4

Trabalho da gravidade em cada bloco: Wg,1 = m1,g;s1 = m1,g;l(tfrac12,a,t^2r) .
  • Para Wg,2 = -,m2,g;s2 = -,m2,g;l(tfrac12,a,t^2r) , força pra baixo ( Wg = Wg,1 + Wg,2 = tfrac12,a,t^2,(m1,g - m2,g) = tfrac12,(m1 - m2),g;a,t^2 ) e deslocamento pra baixo ( boxedWg = (m1 - m2)^2,g^2,t^22,(m1 + m2) ), então
  • Para , força pra baixo ( se considerar deslocamento positivo pra cima) e deslocamento pra cima ( ), dá
Somando:
Substituindo ,

Passo 5

Trabalho das forças de tração: primeiro achamos a tensão T = m2,g + m2,a = m2,g + m2;m1-m2m1+m2,g = 2,m1,m2m1+m2,g . De uma das equações de Newton, por exemplo
WT = -,T,s1 + T,s2 = 0
Agora:
  • Em , tensão pra cima e deslocamento pra baixo, então
    .
  • Em , tensão pra cima e deslocamento pra cima, então
    .
    Como , a soma é

Resposta

Trabalho total da gravidade sobre os blocos depois de boxedWg = (m1 - m2)^2,g^2,t^22,(m1 + m2) :
boxedWT = 0
Trabalho total das forças de tração do fio sobre os blocos:

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