Uma partícula de massa
move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por
(com unidade de Newton). Assumindo que em
a partícula está localizada
(com unidade de metro) e tem velocidade
, encontre o trabalho realizado pela força no movimento da particula do ponto onde
ao ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma partícula com massa
que está sendo puxada por uma força que depende do tempo, dada por:
Além disso, sabemos a posição inicial e a velocidade inicial da partícula no instante
. Nosso objetivo é encontrar o trabalho realizado por essa força entre
e
. Vamos precisar aplicar conceitos de dinâmica e trabalho em física.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho (
) realizado por uma força ao longo de um deslocamento é dado pela integral do produto da força pela velocidade ao longo do tempo:
Para isso, precisamos encontrar a função velocidade
da partícula.
Passo 3
Sabemos que a aceleração
da partícula está relacionada com a força pela segunda lei de Newton:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, para encontrar a velocidade, integramos a aceleração em relação ao tempo e adicionamos a velocidade inicial
:
Integrando cada componente:
Portanto:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
, vamos calcular o produto escalar
:
Realizando as multiplicações:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Integrando cada termo:
Portanto:
Passo 7
Vamos calcular cada termo no intervalo:
Para
:
Para
:
Passo 8
Finalmente, subtraímos os valores obtidos:
Resposta
O trabalho realizado pela força no movimento da partícula de
a
é de 864 Joules.