Uma partícula de massa m=2 / 3 Kg move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por F(t)=8 t^2 i+ (12 t-16 / 3) jmath-4 t k (com unidade de Newton). Assumindo que em t=0 s a partícula está localizada cm r0=3 i-jmath+4 k (com unidade de metro) e tem velocidade v0=6 imath+15 jmath-8k, encontre o trabalho realizado pela força no movimento da particula do ponto onde t=1 s ao ponto onde t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma partícula com massa m = 23 , kg que está sendo puxada por uma força que depende do tempo, dada por:
F(t) = 8 t^2 i + (12 t - 163) jmath - 4 t k
Além disso, sabemos a posição inicial e a velocidade inicial da partícula no instante t = 0 , s. Nosso objetivo é encontrar o trabalho realizado por essa força entre t = 1 , s e t = 2 , s. Vamos precisar aplicar conceitos de dinâmica e trabalho em física.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho ( W) realizado por uma força ao longo de um deslocamento é dado pela integral do produto da força pela velocidade ao longo do tempo:
W = integralt1^t2 F(t) cdot v(t) , dt
Para isso, precisamos encontrar a função velocidade v(t) da partícula.

Passo 3

Sabemos que a aceleração a(t) da partícula está relacionada com a força pela segunda lei de Newton:
a(t) = F(t)m
Substituindo os valores:
a(t) = 8 t^223 i + 12 t - 16323 jmath + -4 t23 k = 12 t^2 i + (18 t - 8) jmath - 6 t k

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade, integramos a aceleração em relação ao tempo e adicionamos a velocidade inicial v0:
v(t) = v0 + integral a(t) , dt
Integrando cada componente:
integral 12 t^2 , dt = 4 t^3 integral (18 t - 8) , dt = 9 t^2 - 8 t integral -6 t , dt = -3 t^2
Portanto:
v(t) = 6 imath + 15 jmath - 8 k + 4 t^3 imath + (9 t^2 - 8 t) jmath - 3 t^2 k
Simplificando:
v(t) = (6 + 4 t^3) imath + (15 + 9 t^2 - 8 t) jmath + (-8 - 3 t^2) k

Passo 5

Agora que temos v(t), vamos calcular o produto escalar F(t) cdot v(t):
F(t) cdot v(t) = [8 t^2][6 + 4 t^3] + [12 t - 163][15 + 9 t^2 - 8 t] + (-4 t)[-8 - 3 t^2]
Realizando as multiplicações:
= 48 t^2 + 32 t^5 + 180 t + 108 t^3 - 96 t^2 - 80 + 1283 t + 32 t + 12 t^3
Simplificando os termos semelhantes:
= 32 t^5 + 120 t^3 - 96 t^2 + 7643 t - 80

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de t = 1 , s a t = 2 , s:
W = integral1^2 (32 t^5 + 120 t^3 - 96 t^2 + 7643 t - 80) dt
Integrando cada termo:
integral 32 t^5 , dt = 326 t^6 = 163 t^6 integral 120 t^3 , dt = 30 t^4 integral -96 t^2 , dt = -32 t^3 integral 7643 t , dt = 7646 t^2 = 3823 t^2 integral -80 , dt = -80 t
Portanto:
W = [163 t^6 + 30 t^4 - 32 t^3 + 3823 t^2 - 80 t]1^2

Passo 7

Vamos calcular cada termo no intervalo:
Para t = 2:
163 (2)^6 + 30 (2)^4 - 32 (2)^3 + 3823 (2)^2 - 80 (2) = 163 times 64 + 30 times 16 - 32 times 8 + 3823 times 4 - 160
= 10243 + 480 - 256 + 15283 - 160 = 25523 + 64 = 27443
Para t = 1:
163 (1)^6 + 30 (1)^4 - 32 (1)^3 + 3823 (1)^2 - 80 (1) = 163 + 30 - 32 + 3823 - 80
= 3983 - 82 = 1523

Passo 8

Finalmente, subtraímos os valores obtidos:
W = 27443 - 1523 = 25923 = 864 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força no movimento da partícula de t = 1 , s a t = 2 , s é de 864 Joules.

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