UMA PARTICULA DE MASSA M, MOVE-SE EM RELAGAO A O DE ACORDO COM M(t)=a imath+b t jmath+C t^2 K. CALCULE O TORQUE DA FORCA RESULTANTE EM RELACA A A O.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos uma partícula de massa m cuja posição em relação ao ponto O é dada por
vec r(t) ;=; vec M(t) ;=; a,hatimath ;+; b,t,hatjmath ;+; C,t^2,hat k
O que a questão quer é o torque da força resultante sobre essa partícula em relação a O.
Conteúdo: Torque (momento de força) e produto vetorial.
Precisamos de:
  1. calcular aceleração a partir da posição;
  2. usar vec F = m,vec a;
  3. calcular o torque vectau = vec r times vec F.

Passo 2

Primeiro, achamos a velocidade derivando vec r(t) em relação a t:
vec v(t);=;dvec rdt ;=;ddtl(a,hatimath + b,t,hatjmath + C,t^2,hat kr) ;=;0;hatimath ;+; b;hatjmath ;+; 2C,t;hat k ;=; b,hatjmath + 2C,t,hat k
Teoria rápida: derivada de t é 1, de t^2 é 2t, e a é constante (derivada zero).

Passo 3

Agora a aceleração, derivando a velocidade:
vec a(t);=;dvec vdt ;=;ddtl(b,hatjmath + 2C,t,hat kr) ;=;0,hatjmath + 2C,hat k ;=;2C,hat k
Ou seja, aceleração é constante no eixo k.

Passo 4

A força resultante (pela 2ª lei de Newton) é
vec F = m,vec a = m,(2C,hat k) = 2mC,hat k

Passo 5

Finalmente, o torque em relação a O é
vectau = vec r times vec F
Escrevendo
vec r = (a,; b,t,; C,t^2), vec F = (0,;0,;2mC),
o produto vetorial dá (usando determinante)
vectau = hatimath & hatjmath & hat k a & b,t & C,t^2 0 & 0 & 2mC = l(b,tcdot 2mC - C,t^2cdot 0r)hatimath - l(acdot 2mC - C,t^2cdot 0r)hatjmath + (acdot0 - b,tcdot0),hat k
vectau = 2mC,(b,t,hatimath - a,hatjmath)

Resposta

boxed vectau(t) ;=;2,m,C;l(b,t,hatimath ;-; a,hatjmathr)

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