. Uma partícula de massa m se move em duas dimensões sob a influência de uma força central determinada pelo potencial
U(r)=a r^{p}+b r^{q}
Encontre os expoentes p e q os quais fazem possível encontrar uma órbita da forma r=c \theta^{2}, com c a constante. (Dica: use a equação diferencial para a orbita.)
(resposta: p=-3 e q=-2 )

Passo 1

O enunciado dá: uma partícula de massa m move-se em duas dimensões sob um potencial central
U(r)=a\, r^{p}+b\, r^{q},
com constantes a,b,c,m. Pede-se: encontrar os expoentes p e q que permitem que exista uma órbita da forma
r=c\,\theta^{2},
onde c é uma constante. Informações relevantes listadas:
  • U(r) depende só de r (força central).
  • A órbita proposta é r(\theta)=c\,\theta^{2}.
  • Devemos usar a equação diferencial da órbita (a relação entre a força central e r(\theta)).
    Nada mais será assumido — vamos partir dessas informações para achar p e q.

Passo 2

Relembrando a equação certa para órbitas sob força central (fórmula de Binet), explicando cada termo:
  • A força radial é F(r)=-\dfrac{dU}{dr}.
  • O momento angular (constante) é L=m r^{2}\dot{\theta}. É útil definir o momento angular específico (por unidade de massa) \displaystyle h=\frac{L}{m}=r^{2}\dot{\theta}.
  • Introduzimos u(\theta)=\dfrac{1}{r(\theta)}. Essa troca é clássica porque transforma a equação do movimento radial numa equação em \theta.
    A fórmula de Binet (que se obtém a partir das equações de movimento em coordenadas polares e da conservação de L) é:
F(r)=-m h^{2} u^{2}\!\left(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u\right),
onde u=1/r e h é definido acima. Aqui,
  • F(r) é a força radial (função de r apenas),
  • m é a massa,
  • h é constante relacionada ao momento angular,
  • as derivadas são em relação a \theta.

Passo 3

Agora substituímos a órbita proposta na variável u. Como r=c\,\theta^{2}, temos
u(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{1}{c\,\theta^{2}}.
Definindo k=\dfrac{1}{c} (apenas para limpar notação), temos u(\theta)=k\,\theta^{-2}. Calculamos as derivadas em relação a \theta:
\frac{du}{d\theta}=-2k\,\theta^{-3},
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}=6k\,\theta^{-4}.
Logo,
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=6k\,\theta^{-4}+k\,\theta^{-2}=k\bigl(6\,\theta^{-4}+\theta^{-2}\bigr).

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Binet:
F(r)=-m h^{2} u^{2}\!\left(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u\right).
Substituindo u=k\,\theta^{-2} e o resultado do passo anterior:
u^{2}=k^{2}\theta^{-4},
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=k\bigl(6\,\theta^{-4}+\theta^{-2}\bigr).
Multiplicando:
u^{2}\!\left(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u\right)=k^{2}\theta^{-4}\cdot k\bigl(6\,\theta^{-4}+\theta^{-2}\bigr) = k^{3}\bigl(6\,\theta^{-8}+\theta^{-6}\bigr).
Portanto
F(r)=-m h^{2} k^{3}\bigl(6\,\theta^{-8}+\theta^{-6}\bigr).

Passo 5

Agora devemos escrever F como função de r, não de \theta. Usamos r=c\,\theta^{2}, ou seja \theta^{2}=\dfrac{r}{c}. Assim:
\theta^{-6}=(\theta^{2})^{-3}=\left(\frac{r}{c}\right)^{-3}=c^{3} r^{-3},
\theta^{-8}=(\theta^{2})^{-4}=\left(\frac{r}{c}\right)^{-4}=c^{4} r^{-4}.
Substituímos em F(r):
F(r)=-m h^{2} k^{3}\bigl(6 c^{4} r^{-4}+c^{3} r^{-3}\bigr).
Lembrando que k=1/c, temos k^{3}=1/c^{3}. Então
F(r)=-m h^{2}\left(6\frac{c^{4}}{c^{3}} r^{-4}+\frac{c^{3}}{c^{3}} r^{-3}\right) =-m h^{2}\bigl(6 c\, r^{-4}+ r^{-3}\bigr).
Logo F(r) é uma combinação linear das potências r^{-4} e r^{-3}:
F(r)=-m h^{2}\,6c\; r^{-4}\;-\;m h^{2}\; r^{-3}.

Passo 6

Relacionamos com a força derivada do potencial dado. Como U(r)=a\,r^{p}+b\,r^{q}, a força é
F(r)=-\frac{dU}{dr}=-a p\, r^{p-1}-b q\, r^{q-1}.
Comparando essa expressão com a forma obtida no passo anterior,
F(r)=-m h^{2}\bigl(6 c\, r^{-4}+ r^{-3}\bigr),
vemos que os expoentes das potências de r devem coincidir. Portanto os expoentes p-1 e q-1 (na derivada) têm de ser -4 e -3 (em alguma ordem). Assim:
p-1=-4\quad\Rightarrow\quad p=-3,
q-1=-3\quad\Rightarrow\quad q=-2.
(A ordem dos termos em U não importa; o importante é que as potências sejam r^{-3} e r^{-2} em U, gerando r^{-4} e r^{-3} em F.)

Resposta

p=-3
q=-2

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