. Uma partícula de massa
se move em duas dimensões sob a influência de uma força central determinada pelo potencial
Encontre os expoentes
e
os quais fazem possível encontrar uma órbita da forma
, com
a constante. (Dica: use a equação diferencial para a orbita.)
(resposta:
e
)
(resposta:
Passo 1
O enunciado dá: uma partícula de massa
move-se em duas dimensões sob um potencial central
com constantes
. Pede-se: encontrar os expoentes
e
que permitem que exista uma órbita da forma
onde
é uma constante. Informações relevantes listadas:
-
depende só de (força central). - A órbita proposta é
. - Devemos usar a equação diferencial da órbita (a relação entre a força central e
).
Nada mais será assumido — vamos partir dessas informações para achare .
Passo 2
Relembrando a equação certa para órbitas sob força central (fórmula de Binet), explicando cada termo:
- A força radial é
. - O momento angular (constante) é
. É útil definir o momento angular específico (por unidade de massa) . - Introduzimos
. Essa troca é clássica porque transforma a equação do movimento radial numa equação em .
A fórmula de Binet (que se obtém a partir das equações de movimento em coordenadas polares e da conservação de) é:
onde
e
é definido acima. Aqui,
-
é a força radial (função de apenas), -
é a massa, -
é constante relacionada ao momento angular, - as derivadas são em relação a
.
Passo 3
Agora substituímos a órbita proposta na variável
. Como
, temos
Definindo
(apenas para limpar notação), temos
. Calculamos as derivadas em relação a
:
Logo,
Passo 4
Aplicamos a fórmula de Binet:
Substituindo
e o resultado do passo anterior:
Multiplicando:
Portanto
Passo 5
Agora devemos escrever
como função de
, não de
. Usamos
, ou seja
. Assim:
Substituímos em
:
Lembrando que
, temos
. Então
Logo
é uma combinação linear das potências
e
:
Passo 6
Relacionamos com a força derivada do potencial dado. Como
, a força é
Comparando essa expressão com a forma obtida no passo anterior,
vemos que os expoentes das potências de
devem coincidir. Portanto os expoentes
e
(na derivada) têm de ser
e
(em alguma ordem). Assim:
(A ordem dos termos em
não importa; o importante é que as potências sejam
e
em
, gerando
e
em
.)