. Seja uma partícula de massa m sujeita à um campo de força central descrito por F(r).
a) Discuta a conservação de energia e de momento angular para a partícula;
b) Obtenha as equações de movimento para a partícula e discuta;
c) Deduza a equação diferencial para a órbita: r \equiv r(\theta) ( \theta é o ângulo polar);
d) Usando os resultados dos itens a ) e c ) acima, mostre explicitamente que a 1 \stackrel{o}{-} lei de Kepler (“Os planetas se movem em órbitas elipticas ao redor do Sol, com o Sol em um dos fócos”) e a 2{ }^{o} lei de Kepler (“A área por unidade de tempo varrida por um raio vetor do Sol ao planeta é uma constante”) levam naturalmente a lei de força gravitacional. (respostas: consulte anotações de aula)

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas, que vou listar claramente e as informações úteis que já temos:
  • Perguntas:
    a) Discutir a conservação de energia e de momento angular para uma partícula de massa \(m) sujeita a um campo de força central \(\vec F(\vec r)=F(r)\,\hat e_r).
    b) Obter as equações de movimento para a partícula e discuti-las.
    c) Deduzir a equação diferencial da órbita \(\,r\equiv r(\theta)\,), onde \(\theta) é o ângulo polar.
    d) Usando (a) e (c), mostrar explicitamente que a 1ª lei de Kepler (órbitas elípticas com o Sol em um foco) e a 2ª lei de Kepler (área por unidade de tempo constante) conduzem à lei de força gravitacional (força proporcional a \(1/r^2)).
  • Informações dadas / assumidas:
    • A força é central: \(\vec F(\vec r)=F(r)\,\hat e_r), ou seja, aponta sempre na direção radial e seu módulo depende apenas de \(r).
    • A partícula tem massa \(m).
    • Para (d) sabemos as duas leis de Kepler: 1) a órbita é uma elipse com o foco ocupado pelo Sol; 2) a área varrida por unidade de tempo é constante.
A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Conservação de momento angular (interpretação física e demonstração curta)
  • Definição do momento angular: o momento angular da partícula é \(\vec L=\vec r\times m\vec v).
  • Torque: pelo teorema de momento angular, \(\dfrac{d\vec L}{dt}=\vec \tau=\vec r\times\vec F).
  • Como a força é central, \(\vec F=F(r)\,\hat e_r) e portanto é paralela a \(\vec r). Assim o produto vetorial \(\vec r\times\vec F= \vec 0).
  • Logo
    \frac{d\vec L}{dt}=\vec 0\quad\Rightarrow\quad \vec L=\text{constante (vetor)}.
    Isto significa que o módulo de \(\vec L) e sua direção são constantes: o movimento fica confinado a um plano perpendicular a \(\vec L).
  • Escrevendo o módulo: se \(L=|\vec L|) e se usamos coordenadas polares no plano do movimento, definimos o momento angular específico (por unidade de massa) \(h) por
    h\equiv \frac{L}{m}=r^{2}\dot\theta=\text{constante}.
    Aqui \(\dot\theta) é a derivada de \(\theta) em relação ao tempo.
  • Interpretação com a 2ª lei de Kepler: a taxa de varredura de área é
    \frac{dA}{dt}=\frac12 r^{2}\dot\theta=\frac12 h,
    logo \(\dfrac{dA}{dt}= constante ) é exatamente equivalente à conservação de \(\vec L). Assim a 2ª lei de Kepler diz que a força é central (ou equivalentemente que \(\vec L) é conservado).)

Passo 3

Conservação de energia (quando aplicável) — conceito e derivação
  • Condição: uma força \(\vec F(\vec r)) é conservativa e admite potencial escalar \(V(r)) se existir V(r) tal que \(\vec F(\vec r)=-\nabla V(r)=-\dfrac{dV}{dr}\hat e_r). Para uma força central que depende só de \(r) isto é possível (a menos de casos com dependência de tempo ou não derivável), portanto normalmente existe V(r) com \(F(r)=-V'(r)).
  • Trabalho e energia: multiplicando a equação de movimento por \(\vec v),
    m\vec a\cdot\vec v=\vec F\cdot\vec v = -\frac{dV}{dr}\hat e_r\cdot\vec v = -\frac{dV}{dt},
    pois \(\hat e_r\cdot\vec v = \dot r) e \(dV/dt = (dV/dr)\dot r).
  • Usando \(m\vec a\cdot\vec v = \dfrac{d}{dt}\left(\tfrac12 m v^{2}\right)), obtemos
    \frac{d}{dt}\left(\tfrac12 m v^{2}+V(r)\right)=0.
    Portanto a energia mecânica
    E=\tfrac12 m v^{2}+V(r)
    é constante ao longo do movimento (conservação de energia).
  • Em coordenadas polares no plano, a energia fica
    E=\frac12 m\big(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\big)+V(r).
Resumo do passo: para uma força central que depende apenas de \(r) existe potencial V(r) e então tanto o momento angular como a energia mecânica são conservados.

Passo 4

Equações de movimento em coordenadas polares — derivação detalhada
  • Posicionamento no plano: \(\vec r = r\,\hat e_r).
  • Velocidade: usar que \(\dfrac{d\hat e_r}{dt}=\dot\theta\,\hat e_\theta) e \(\dfrac{d\hat e_\theta}{dt}=-\dot\theta\,\hat e_r). Então
    \vec v=\dot{\vec r}=\dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta.
  • Aceleração: derivando
    \vec a=\ddot{\vec r}=(\ddot r - r\dot\theta^{2})\,\hat e_r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\hat e_\theta.
    Explique: o termo -r\dot\theta^{2} é a aceleração centrípeta imediata por curvatura, e o termo 2\dot r\dot\theta é a aceleração de Coriolis aparente nas coordenadas polares (venenho do fato de a base rotacionar).
  • Agora aplique a 2ª lei de Newton \(m\vec a=\vec F = F(r)\,\hat e_r). Igualando componentes radial e transversal:
    • Componente radial:
      m(\ddot r - r\dot\theta^{2}) = F(r).
      Esta é a equação que dita como a distância radial \(r(t)) evolui sob a ação da força radial e do termo centrífugo m r\dot\theta^{2}.
    • Componente transversal:
      m(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)=0.
      Esta última pode ser reescrita como
      \frac{d}{dt}(m r^{2}\dot\theta)=0,
      isto é, m r^{2}\dot\theta (o momento angular L) é constante — já obtivemos isso antes por argumento do torque.
  • Expressão útil: definindo h\equiv r^{2}\dot\theta (momento angular específico), temos \dot\theta = h/r^{2}.
  • Interpretação física: a equação radial mostra que a força radial compete com o efeito centrífugo m r\dot\theta^{2} = m h^{2}/r^{3}. Pelo lado da energia, podemos reescrever a equação de energia usando h como
    E=\frac12 m\dot r^{2} + \underbrace{\left(V(r)+\frac{m h^{2}}{2 r^{2}}\right)}_{V_{\text{ef}}(r)},
    onde V_{\text{ef}}(r) é o potencial efetivo que contém a contribuição centrífuga. Essa forma é útil para analisar tipos de órbitas (ligadas, não ligadas, pontos de equilíbrio etc).

Passo 5

Deduzir a equação diferencial da órbita r(\theta) — derivação do Binet (passo a passo)
  • Objetivo: transformar a equação radial dependente do tempo em uma equação para r em função de \theta. Para isso usamos u(\theta)\equiv 1/r(\theta). Vou derivar cuidadosamente.
  • Primeiro, escrevemos \dot r e \ddot r em termos de derivadas em relação a \theta. Usamos que \dot r = \dfrac{dr}{dt} = \dfrac{dr}{d\theta}\dot\theta. Como \dot\theta = h/r^{2}, obtemos
    \dot r = \frac{dr}{d\theta}\cdot\frac{h}{r^{2}}.
  • Agora expressamos dr/d\theta em termos de u. Como u=1/r, então dr/d\theta = -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{d\theta} e
    \dot r = -\frac{h}{r^{2}}\cdot\frac{1}{u^{2}}\frac{du}{d\theta} = -h\frac{du}{d\theta}.
    (Repare que a dependência em r cancela bem: fica simples.)
  • Derivando uma vez mais em relação ao tempo:
    \ddot r = -h\frac{d}{dt}\left(\frac{du}{d\theta}\right) = -h\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}\dot\theta.
    Substituindo \dot\theta = h u^{2} (porque \dot\theta = h/r^{2} = h u^{2}), dá
    \ddot r = -h^{2} u^{2}\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}.
  • Agora calcule o termo \ddot r - r\dot\theta^{2} que aparece na equação radial:
    \ddot r - r\dot\theta^{2} = -h^{2}u^{2}\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} - \frac{1}{u}\big(h^{2}u^{4}\big).
    Pois r\dot\theta^{2} = \dfrac{1}{u}\cdot (h^{2}u^{4}) = h^{2}u^{3}. Simplificando os termos com potências de u:
    \ddot r - r\dot\theta^{2} = -h^{2}u^{2}\left(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u\right).
  • Substituindo isso na equação radial m(\ddot r - r\dot\theta^{2}) = F(r) obtemos a fórmula clássica de Binet:
    F(r) = -m h^{2} u^{2}\left(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u\right),
    lembrando que \(u=1/r).
  • Esta é a equação desejada que relaciona a forma da órbita u(\theta) com a força radial F(r). Dado F(r) podemos obter uma EDO para u(\theta); dado u(\theta) podemos usar essa fórmula para encontrar F(r).

Passo 6

Usando a 2ª lei de Kepler e a equação da órbita para concluir sobre a lei de forças (mostrando a origem do 1/r^{2})
  • A 2ª lei de Kepler já foi identificada com conservação do momento angular, ou seja, h=r^{2}\dot\theta= constante. Vou usar essa constante h na fórmula de Binet.
  • A 1ª lei de Kepler afirma que a órbita é uma elipse com o Sol num foco. A equação polar (quando o foco está na origem) de uma conica (no caso uma elipse) é:
    r(\theta)=\frac{p}{1+e\cos\theta},
    onde \(e) é a excentricidade e \(p) é o semilatus rectum (parâmetro da cônica). Explicação rápida: qualquer cônica com origem em um foco pode ser expressa desta forma; para uma elipse \(0\le e<1) e \(p=a(1-e^{2})), onde \(a) é o semi-eixo maior.
  • Passo técnico: definimos u(\theta)=1/r(\theta). Para a conica acima,
    u(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{1+e\cos\theta}{p}.
    Derivando duas vezes em relação a \theta,
    \frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} = -\frac{e\cos\theta}{p} = -\left(\frac{1+e\cos\theta}{p}\right) + \frac{1}{p} = -u + \frac{1}{p}.
    Portanto
    \frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = \frac{1}{p}.
  • Agora coloque isso na fórmula de Binet:
    F(r) = -m h^{2} u^{2}\left(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u\right) = -m h^{2} u^{2}\cdot\frac{1}{p}.
    Como u=1/r, isto é
    F(r) = -\frac{m h^{2}}{p}\cdot\frac{1}{r^{2}}.
  • Conclusão lógica: o módulo da força radial que produz exatamente órbitas elípticas (com a forma dada) e é compatível com a 2ª lei (conservação de h) tem dependência \(F(r)\propto -1/r^{2}). A constante -m h^{2}/p é negativa (sinal negativo indica que a força é atrativa, apontando para o foco/origem).
  • Para ligar isso à forma newtoniana usual: escrevendo \(F(r)=-\dfrac{G M m}{r^{2}}) identifica-se
    G M = \frac{h^{2}}{p},
    i.e. a constante GM (produto da constante de gravitação pela massa central) é determinada pelos parâmetros de órbita e do momento angular. Portanto as leis de Kepler (1ª e 2ª) levam diretamente à lei de força gravitacional do tipo inverso do quadrado.

Passo 7

Comentários finais, interpretação e como usar isso numa prova
  • Resumo operativo para a prova:
    1. Mostre que força central implica \(\vec r\times\vec F=0) e daí \(\vec L) constante; escreva h=r^{2}\dot\theta e relacione com a taxa de área \(dA/dt=\tfrac12 h).
    2. Escreva velocidade e aceleração em coordenadas polares e obtenha as equações radial e transversal.
    3. Use h para trocar derivadas temporais por derivadas em \theta e obter a fórmula de Binet: \(F(r) = -m h^{2} u^{2}\big(u+\dfrac{d^{2}u}{d\theta^{2}}\big)).
    4. Se a órbita é uma cônica com origem no foco, use u(\theta)=(1+e\cos\theta)/p e calcule \dfrac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=1/p. Substitua em Binet e conclua F(r)\propto -1/r^{2}.
  • Intuição: a 2ª lei (áreas iguais em tempos iguais) é simplesmente conservação de momento angular; a 1ª lei dá a forma geométrica da curva; combinadas, essas duas propriedades fixam a dependência radial da força como inverso do quadrado.

Resposta

(a) \displaystyle \vec L=m r^{2}\dot\theta\,\hat k=\text{constante} (momento angular conservado). Se \vec F(\vec r)=-\dfrac{dV}{dr}\hat e_r existe potencial V(r) e a energia mecânica \displaystyle E=\tfrac12 m(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2})+V(r) é conservada.
(b) Equações de movimento em coordenadas polares:
m(\ddot r - r\dot\theta^{2})=F(r),\qquad m(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)=0
com r^{2}\dot\theta=h= const. Discussão: segunda equação implica conservação de \vec L; a primeira mostra competição entre força radial e termo centrífugo m r\dot\theta^{2}. Energia dá E=\tfrac12 m\dot r^{2}+V(r)+\dfrac{m h^{2}}{2r^{2}}.
(c) Equação da órbita (Binet): com u(\theta)=1/r,
F(r)=-m h^{2}u^{2}\!\left(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u\right),
ou seja \displaystyle F\big(\tfrac{1}{u}\big)=-m h^{2}u^{2}\!\left(u+\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}\right).
(d) Para uma elipse com foco na origem r=\dfrac{p}{1+e\cos\theta} temos u=(1+e\cos\theta)/p e \dfrac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=\dfrac{1}{p}. Substitindo em Binet:
F(r)=-\frac{m h^{2}}{p}\frac{1}{r^{2}},
logo a força é central, atrativa e proporcional a 1/r^{2}. Identificando \displaystyle \frac{h^{2}}{p}=GM obtém-se a forma newtoniana \displaystyle F(r)=-\frac{G M m}{r^{2}}.

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