Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força com a forma F0 t / t0. Após um intervalo de tempo t0, a força assume a forma F0 t0 / t. Sabendo que x(0)=x0 e v0=v0, calcule:
(a) t>t0.
(b) Calcule a velocidade da partícula em função do tempo em para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula de massa a(t)=F(t)m, a=dvdt, v=dxdt, recebe uma força que muda de forma em dois trechos:
  • Para :
    .
  • Para :
    .
    Partindo de e , pedem:
    (a) a posição ,
    (b) a velocidade para .
    O conteúdo principal é “cinemática com forças” (Lei de Newton ) e integrações de aceleração para obter velocidade e posição. Vamos precisar lembrar que
e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro intervalo ( a(t)=F(t)m =1m,F0,tt0 =F0m,t0;t ):
  1. Aceleração
v(t)=v0+integral0^ta(t'),dt' =v0+integral0^tF0m,t0,t',dt' =v0+F0m,t0;t^22
  1. Velocidade x(t)=x0+integral0^tv(t'),dt' =x0+integral0^tl(v0+F0m,t0t'^22r),dt' =x0+v0,t+F0m,t0;t^36 para :
  1. Posição para :

Passo 3

Agora basta pôr v(t0) =v0+F0m,t0;t0^22 =v0+F0,t02,m nas expressões:
  1. Velocidade em x(t0) =x0+v0,t0+F0m,t0;t0^36 =x0+v0,t0+F0,t0^26,m :
  1. Posição em :

Passo 4

Segundo intervalo ( a(t)=F(t)m =1m,F0,t0t =F0,t0m,1t ):
  • Aceleração
v(t)=v(t0)+integralt0^ta(t'),dt' =v(t0)+integralt0^tF0,t0m,1t',dt' =v(t0)+F0,t0m,ln!gl(tt0gr)
  • Integramos para achar v(t) =l(v0+F0,t02mr) +F0,t0m,ln!l(tt0r) , usando condição :
Substituindo que já tínhamos:

Resposta

(a) Posição em boxed x(t0) =x0+v0,t0+F0,t0^26,m :
boxed v(t) =v0+F0,t02m +F0,t0m,ln!gl(tt0gr)
(b) Velocidade para :

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