Uma partícula de massa m presa a uma mola move-se em movimento harmônico simples com com amplitude A. Sabendo que ela passa no instante t=0 por uma posição genérica x0 com velocidade v0, determine:
(a) O período do movimento, T.
(b) A velocidade em função do tempo, v(t).

Passo 1

Beleza, primeiro vamos resumir o que o enunciado tá pedindo e listar o que precisamos:
Você tem uma partícula de massa m presa a uma mola de constante elástica k, fazendo movimento harmônico simples (MHS) com amplitude A. No instante t=0 ela passa na posição x0 com velocidade v0. Precisamos achar:
(a) o período T desse MHS;
(b) a expressão da velocidade v(t).
Conteúdo da matéria:
  • Segunda lei de Newton aplicada à mola (Lei de Hooke).
  • Equação diferencial do MHS: mddot x + kx = 0
  • Definição de frequência angular omega = raizkm e de período T = 2piomega
    - Solução geral do EDO e aplicação das condições iniciais.

Passo 2

Vamos achar o período T.
  1. Pela Lei de Hooke, a força elástica é F = -kx.
  2. Aplicando a 2ª lei de Newton: mddot x = -kx Longrightarrow ddot x + km,x = 0
    3. Essa equação é típica de MHS, cuja solução apresenta uma frequência angular
    omega = raizkm,
  3. E o período (tempo de uma oscilação completa) é T = 2piomega = 2pi,raizmk,
Aqui nem precisamos usar a amplitude A — o período só depende de m e k.

Passo 3

Agora vamos achar v(t).
  1. A solução geral do deslocamento é x(t) = Ccos(omega t) + Dsin(omega t),,
    onde C e D são constantes a determinar pelas condições iniciais.
    2. A velocidade é a derivada:
    v(t) = dot x(t) = -C,omegasin(omega t) + D,omegacos(omega t),
  2. Em t=0 temos x(0) = Ccos0 + Dsin0 = C = x0,, v(0) = -C,omegasin0 + D,omegacos0 = D,omega = v0Longrightarrow D = v0omega,
    4. Substituindo C e D em v(t):
    v(t) = -x0,omegasin(omega t) + v0omega,omegacos(omega t) boxedv(t) = -,x0,omega,sin(omega t);+;v0,cos(omega t),

Resposta

(a) T = 2piraizdfracmk,
(b) v(t) = -,x0,omega,sin(omega t);+;v0,cos(omega t),, com omega=raizdfrackm,.

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