1. Uma partícula de massa m se movimenta em uma dimensão sob a ação de uma força constante F=m b na direção positiva do eixo x e de uma força dissipativa f_{d} cuja magnitude é f_{d}=m k v, onde v é a velocidade da partícula e b e k são constantes positivas. Considere que no instante inicial a partícula estava em repouso na origem do sistema de coordenadas. Qual a velocidade \mathrm{v}(\mathrm{t}) da partícula em função do tempo?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a velocidade \mathrm{v}(\mathrm{t}) da partícula em função do tempo, dado que no instante inicial a partícula estava em repouso na origem.
Informações fornecidas:
  • Massa da partícula: \;m\; (constante positiva).
  • Força constante na direção positiva: \;F = m\,b\;, com \;b>0\;.
  • Força dissipativa cuja magnitude é \;f_{d}=m\,k\,v\;, com \;k>0\; e \;v\; sendo a velocidade instantânea. A força dissipativa atua no sentido oposto ao da velocidade.
  • Condição inicial: \;v(0)=0\;.
    Pergunta final: determinar explicitamente \;v(t)\; para \;t\ge 0\;.

Passo 2

Escrevemos a segunda lei de Newton (soma das forças = massa × aceleração). A aceleração é \;a=\dfrac{dv}{dt}\;. Tomando o sentido positivo como o da força m b, a força dissipativa tem sinal negativo (oposta ao movimento). Assim:
m\frac{dv}{dt}=m b - m k v.
Expliquei cada termo: \;m\frac{dv}{dt}\; é a massa vezes a variação da velocidade; \;m b\; é a força constante positiva; \;m k v\; é a magnitude da força dissipativa e entra com sinal negativo porque puxa para o lado oposto da velocidade.

Passo 3

Simplificamos dividindo por m (não nulo):
\frac{dv}{dt}=b - k v.
Reescrevendo na forma padrão de equação diferencial linear de primeira ordem:
\frac{dv}{dt} + k v = b.
Aqui \;k\; e \;b\; são constantes. Essa é uma equação linear com coeficientes constantes — método do fator integrante é conveniente.

Passo 4

Usamos o fator integrante. Calculamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t)=e^{\int k\,dt}=e^{k t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos uma derivada exata:
e^{k t}\frac{dv}{dt} + k e^{k t} v = b e^{k t}
o que é equivalente a
\frac{d}{dt}\bigl(e^{k t} v\bigr)=b e^{k t}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{k t} v\bigr)\,dt = \int b e^{k t}\,dt.
A integral do lado esquerdo dá e^{k t} v. A integral do lado direito resulta em \dfrac{b}{k} e^{k t} + C, onde C é constante de integração. Então:
e^{k t} v = \frac{b}{k} e^{k t} + C.
Dividindo por e^{k t} (sempre positivo) obtemos
v(t)=\frac{b}{k} + C e^{-k t}.
Expliquei que C é uma constante a ser determinada pela condição inicial.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial \;v(0)=0\;. Substituindo t=0 em v(t):
0 = \frac{b}{k} + C e^{0} \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{b}{k}.
Substituindo C em v(t) obtemos a solução explícita:
v(t)=\frac{b}{k}\bigl(1 - e^{-k t}\bigr).
Dou uma verificação rápida: derivando \;v(t)\; obtemos \;\dfrac{dv}{dt}=b e^{-k t}\;; substituindo na equação \dfrac{dv}{dt}+k v b, logo a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 7

Interpretação física curta: \dfrac{b}{k} é a velocidade limite (terminal), pois quando t\to\infty temos v(t)\to \dfrac{b}{k}. Isso corresponde ao equilíbrio entre a força constante m b e a força dissipativa m k v quando m b = m k v_{\infty}.

Resposta

v(t)=\frac{b}{k}\bigl(1 - e^{-k t}\bigr)

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