- Uma partícula de massa m se movimenta em uma dimensão sob a ação de uma força constante
na direção positiva do eixo
e de uma força dissipativa
cuja magnitude é
, onde v é a velocidade da partícula e b e k são constantes positivas. Considere que no instante inicial a partícula estava em repouso na origem do sistema de coordenadas. Qual a velocidade
da partícula em função do tempo?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a velocidade
da partícula em função do tempo, dado que no instante inicial a partícula estava em repouso na origem.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Massa da partícula:
(constante positiva). - Força constante na direção positiva:
, com . - Força dissipativa cuja magnitude é
, com e sendo a velocidade instantânea. A força dissipativa atua no sentido oposto ao da velocidade. - Condição inicial:
.
Pergunta final: determinar explicitamentepara .
Passo 2
Escrevemos a segunda lei de Newton (soma das forças = massa × aceleração). A aceleração é
. Tomando o sentido positivo como o da força
, a força dissipativa tem sinal negativo (oposta ao movimento). Assim:
Expliquei cada termo:
é a massa vezes a variação da velocidade;
é a força constante positiva;
é a magnitude da força dissipativa e entra com sinal negativo porque puxa para o lado oposto da velocidade.
Passo 3
Simplificamos dividindo por
(não nulo):
Reescrevendo na forma padrão de equação diferencial linear de primeira ordem:
Aqui
e
são constantes. Essa é uma equação linear com coeficientes constantes — método do fator integrante é conveniente.
Passo 4
Usamos o fator integrante. Calculamos o fator integrante
como
Multiplicando a equação por
obtemos uma derivada exata:
o que é equivalente a
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá
. A integral do lado direito resulta em
, onde
é constante de integração. Então:
Dividindo por
(sempre positivo) obtemos
Expliquei que
é uma constante a ser determinada pela condição inicial.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
:
Substituindo
em
obtemos a solução explícita:
Dou uma verificação rápida: derivando
obtemos
; substituindo na equação
dá
, logo a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 7
Interpretação física curta:
é a velocidade limite (terminal), pois quando
temos
. Isso corresponde ao equilíbrio entre a força constante
e a força dissipativa
quando
.