Uma partícula descreve uma trajetória contida em um plano, sendo o vetor posição da partícula dado por:
onde todas as constantes e demais grandezas são dadas no SI. Determine:
o vetor velocidade e seu módulo no instante
;
o vetor velocidade e seu módulo no instante
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição da partícula em função do tempo:
O que pedem:
- Determinar o vetor velocidade no instante
. - Determinar o módulo (norma) da velocidade no instante
.
Informações relevantes fornecidas:
- As componentes de
são e . -
é uma constante (frequência angular); o enunciado não fornece um valor numérico para , então a resposta ficará em função de . - Tempo
está em segundos (SI), então a velocidade terá unidades de metros por segundo (m/s), supondo que as posições estejam em metros.
Passo 2
Lembrete útil (aula rápida de derivadas e regra da cadeia): para obter o vetor velocidade
derivamos componente a componente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a usa a regra da cadeia: primeiro derivamos em relação a obtendo , depois multiplicamos pela derivada de que é . Logo . - A derivada de
é . - A derivada de
também usa regra da cadeia: .
Aplicando tudo isso componente a componente obtemos a velocidade.
Passo 3
Derivando as componentes, o vetor velocidade geral é
Passo 4
Agora o módulo (norma euclidiana) de
é dado por
Podemos simplificar essa expressão expandindo os quadrados e usando a identidade trigonométrica
. Façamos a expansão:
Somando:
Portanto
Passo 5
Agora avaliamos em
. Substituindo
em
e
obtemos:
e, usando a simplificação feita,
Observação prática: se você tiver um valor numérico para
, basta substituir na expressão acima e calcular (primeiro calcule
e
, depois as operações e por fim a raiz quadrada) para obter o valor numérico do módulo em m/s.