Uma partícula descreve uma trajetória contida em um plano, sendo o vetor posição da partícula dado por:
\mathbf{r}=(2 \mathrm{t}+\operatorname{sen} \omega \mathrm{t}, \mathrm{t}+\cos \omega \mathrm{t})
onde todas as constantes e demais grandezas são dadas no SI. Determine:
o vetor velocidade e seu módulo no instante \mathrm{t}=1 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição da partícula em função do tempo:
\mathbf{r}(t)=\bigl(2t+\sin(\omega t),\; t+\cos(\omega t)\bigr).
O que pedem:
  1. Determinar o vetor velocidade no instante t=1\\ \text{s}.
  2. Determinar o módulo (norma) da velocidade no instante t=1\\ \text{s}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes de \mathbf{r}(t) são x(t)=2t+\sin(\omega t) e y(t)=t+\cos(\omega t).
  • \omega é uma constante (frequência angular); o enunciado não fornece um valor numérico para \omega, então a resposta ficará em função de \omega.
  • Tempo t está em segundos (SI), então a velocidade terá unidades de metros por segundo (m/s), supondo que as posições estejam em metros.

Passo 2

Lembrete útil (aula rápida de derivadas e regra da cadeia): para obter o vetor velocidade \mathbf{v}(t) derivamos componente a componente:
  • A derivada de 2t em relação a t é 2.
  • A derivada de \sin(\omega t) em relação a t usa a regra da cadeia: primeiro derivamos \sin(u) em relação a u obtendo \cos(u), depois multiplicamos pela derivada de u=\omega t que é \omega. Logo \dfrac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t).
  • A derivada de t é 1.
  • A derivada de \cos(\omega t) também usa regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t).
Aplicando tudo isso componente a componente obtemos a velocidade.

Passo 3

Derivando as componentes, o vetor velocidade geral é
\mathbf{v}(t)=\bigl(2+\omega\cos(\omega t),\; 1-\omega\sin(\omega t)\bigr).

Passo 4

Agora o módulo (norma euclidiana) de \mathbf{v}(t) é dado por
\lvert \mathbf{v}(t)\rvert=\sqrt{\bigl(2+\omega\cos(\omega t)\bigr)^{2}+\bigl(1-\omega\sin(\omega t)\bigr)^{2}}.
Podemos simplificar essa expressão expandindo os quadrados e usando a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1. Façamos a expansão:
\begin{aligned} \bigl(2+\omega\cos(\omega t)\bigr)^{2} &= 4 + 4\omega\cos(\omega t) + \omega^{2}\cos^{2}(\omega t),\\[4pt] \bigl(1-\omega\sin(\omega t)\bigr)^{2} &= 1 - 2\omega\sin(\omega t) + \omega^{2}\sin^{2}(\omega t). \end{aligned}
Somando:
\begin{aligned} \bigl(2+\omega\cos(\omega t)\bigr)^{2}+\bigl(1-\omega\sin(\omega t)\bigr)^{2} &= (4+1) + 4\omega\cos(\omega t) -2\omega\sin(\omega t) + \omega^{2}\bigl(\cos^{2}(\omega t)+\sin^{2}(\omega t)\bigr)\\[4pt] &= 5 + 4\omega\cos(\omega t) -2\omega\sin(\omega t) + \omega^{2}. \end{aligned}
Portanto
\lvert \mathbf{v}(t)\rvert=\sqrt{\omega^{2}+5+4\omega\cos(\omega t)-2\omega\sin(\omega t)}.]

Passo 5

Agora avaliamos em t=1\\ \text{s}. Substituindo t=1 em \mathbf{v}(t) e \lvert\mathbf{v}(t)\rvert obtemos:
\mathbf{v}(1)=\bigl(2+\omega\cos(\omega),\; 1-\omega\sin(\omega)\bigr)
e, usando a simplificação feita,
\lvert \mathbf{v}(1)\rvert=\sqrt{\omega^{2}+5+4\omega\cos(\omega)-2\omega\sin(\omega)}.
Observação prática: se você tiver um valor numérico para \omega, basta substituir na expressão acima e calcular (primeiro calcule \cos(\omega) e \sin(\omega), depois as operações e por fim a raiz quadrada) para obter o valor numérico do módulo em m/s.

Resposta

\mathbf{v}(1)=\bigl(2+\omega\cos(\omega),\;1-\omega\sin(\omega)\bigr)
\lvert \mathbf{v}(1)\rvert=\sqrt{\omega^{2}+5+4\omega\cos(\omega)-2\omega\sin(\omega)}

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