Encontre o vetor \vec{A}+\vec{B} onde os vetores deslocamentos \vec{A} e \vec{B}, situados no plano xy, são dados por: \vec{A}=(2 \hat{i}+2 \hat{j}) e \vec{B}=\left(2 \hat{i}-4 \hat{j}\right.. Respostas: 4 \hat{i}-2 \hat{j}, módulo igual a 4,5 m e direção com ângulo de 333^{\circ} medido a partir do eixo positivo de x.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores deslocamento no plano xy:
\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j}
\vec{B} = 2\hat{i} - 4\hat{j}
O que o exercício pede:
  1. Encontrar o vetor soma \vec{A}+\vec{B}.
  2. Calcular o módulo (comprimento) de \vec{A}+\vec{B}.
  3. Determinar a direção desse vetor como um ângulo medido a partir do eixo positivo x (em graus).

Passo 2

Como somar vetores no plano: escrevemos cada vetor por componentes (componente x e componente y) e somamos componente a componente. Se \vec{V}=(V_x\hat{i}+V_y\hat{j}) e \vec{W}=(W_x\hat{i}+W_y\hat{j}), então
\vec{V}+\vec{W}=(V_x+W_x)\hat{i}+(V_y+W_y)\hat{j}.
Aplicando isso a \vec{A} e \vec{B}: as componentes em x são 2 e 2; as componentes em y são 2 e -4. Então
\vec{A}+\vec{B}=(2+2)\hat{i}+(2+(-4))\hat{j}=4\hat{i}-2\hat{j}.
Pronto — essa é a soma componente a componente, sem mistério.

Passo 3

Agora vamos calcular o módulo do vetor resultante. Para um vetor \vec{R}=(R_x\hat{i}+R_y\hat{j}), o módulo vem do teorema de Pitágoras:
\|\vec{R}\|=\sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}}.
Aqui \vec{R}=\vec{A}+\vec{B} tem R_x=4 e R_y=-2. Então
\|\vec{A}+\vec{B}\|=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}.
Podemos simplificar \sqrt{20}=2\sqrt{5}. Numericalmente,
2\sqrt{5}\approx 2\cdot 2,236\approx 4,472.
Arredondando para uma casa decimal (como a resposta fornecida), fica \approx 4,5. As unidades de comprimento seguem as unidades dos deslocamentos originais (a resposta pede em metros), então escrevemos em metros se for o caso.

Passo 4

Falta a direção do vetor em relação ao eixo x positivo. A definição usada é o ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário, no intervalo [0^\circ,360^\circ). Para um vetor (R_x,R_y) usa-se
\tan(\theta)=\frac{R_y}{R_x}.
No nosso caso \frac{R_y}{R_x}=\frac{-2}{4}=-0,5. Tomando a tangente inversa:
\theta_{\text{principal}}=\arctan(-0,5)\approx -26,565^\circ.
Esse valor é o ângulo principal da função arctan, que dá um ângulo entre -90^\circ e 90^\circ. Mas nosso vetor tem R_x=4>0 e R_y=-2<0, ou seja, está no quarto quadrante. Um ângulo negativo -26,565^\circ equivale a ir |-26,565^\circ| abaixo do eixo x positivo. Para expressar o ângulo no intervalo [0^\circ,360^\circ) somamos 360^\circ:
\theta = 360^\circ + (-26,565^\circ)\approx 333,435^\circ.
Arredondando para um grau inteiro como na resposta fornecida, temos \theta\approx 333^\circ. Outra forma prática (mesma ideia) é calcular \theta=360^\circ-\arctan\bigl(|R_y/R_x|\bigr)=360^\circ-26,565^\circ.

Passo 5

Resumo rápido de verificação: vetor (4,-2) aponta para a direita e um pouco para baixo — isso confirma o quarto quadrante e um ângulo pouco abaixo de 360^\circ. O módulo \sqrt{20} confere com as componentes. Portanto os resultados estão consistentes.

Resposta

\vec{A}+\vec{B}=4\hat{i}-2\hat{j}
\|\vec{A}+\vec{B}\|=2\sqrt{5}\,\mathrm{m}\approx 4,47\,\mathrm{m} (arredondado 4,5\,\mathrm{m})
\theta\approx 333^\circ

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