Uma partícula de massa m se movimenta em três dimensões sob a ação de uma força \mathbf{F}, cujas componentes em coordenadas cilíndricas \rho, \varphi e z são dadas por
F_{\rho}=a \rho^{2} \cos \varphi, \quad F_{\varphi}=b \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi, \quad F_{z}=2 a z^{2}
onde a e b são constantes. Determine o valor da constante b, de modo que a força \mathbf{F} seja conservativa.

Passo 1

O enunciado dá uma força em coordenadas cilíndricas cujas componentes são
F_{\rho}=a \rho^{2}\cos\varphi,\qquad F_{\varphi}=b \rho^{2}\sin\varphi,\qquad F_{z}=2a z^{2},
onde a e b são constantes. A pergunta é: determinar o valor da constante b de modo que a força \mathbf{F} seja conservativa.

Passo 2

O que significa “força conservativa” (explicação didática): uma força é conservativa se existe uma função escalar (potencial) \Phi(\rho,\varphi,z) tal que \mathbf{F}=\nabla\Phi (ou, na outra convenção comum, \mathbf{F}=-\nabla V; a diferença é só sinal). Uma condição prática e equivalente, quando o domínio é simplesmente conexo, é que o rotacional de \mathbf{F} seja nulo:
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Agora, na prática, como calcular \nabla\times\mathbf{F} em coordenadas cilíndricas? A fórmula (que é conveniente memorizar ou ter à mão) para o rotacional em coordenadas cilíndricas, para \mathbf{F}=F_{\rho}\,\mathbf{e}_{\rho}+F_{\varphi}\,\mathbf{e}_{\varphi}+F_{z}\,\mathbf{e}_{z}, é
(\nabla\times\mathbf{F})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial F_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial z},
(\nabla\times\mathbf{F})_{\varphi}=\frac{\partial F_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial\rho},
(\nabla\times\mathbf{F})_{z}=\frac{1}{\rho}\!\left(\frac{\partial(\rho F_{\varphi})}{\partial\rho}-\frac{\partial F_{\rho}}{\partial\varphi}\right).
Aqui cada componente é a projeção do rotacional sobre os vetores unitários \mathbf{e}_{\rho},\mathbf{e}_{\varphi},\mathbf{e}_{z}. Para ter \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} todas as três componentes acima devem ser nulas.

Passo 3

Calcular as derivadas necessárias usando as expressões dadas (vou explicitar cada passo das derivadas para ficar bem claro).
Primeiro componente:
(\nabla\times\mathbf{F})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial F_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial z}.
Observa-se que F_{z}=2a z^{2} não depende de \varphi, então \dfrac{\partial F_{z}}{\partial\varphi}=0. Também F_{\varphi}=b\rho^{2}\sin\varphi não depende de z, então \dfrac{\partial F_{\varphi}}{\partial z}=0. Portanto
(\nabla\times\mathbf{F})_{\rho}=0-0=0.
Segunda componente:
(\nabla\times\mathbf{F})_{\varphi}=\frac{\partial F_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial\rho}.
Aqui F_{\rho}=a\rho^{2}\cos\varphi não depende de z, então \dfrac{\partial F_{\rho}}{\partial z}=0. E \dfrac{\partial F_{z}}{\partial\rho}=\dfrac{\partial(2a z^{2})}{\partial\rho}=0 porque F_{z} não depende de \rho. Logo
(\nabla\times\mathbf{F})_{\varphi}=0-0=0.
Terceira componente:
(\nabla\times\mathbf{F})_{z}=\frac{1}{\rho}\!\left(\frac{\partial(\rho F_{\varphi})}{\partial\rho}-\frac{\partial F_{\rho}}{\partial\varphi}\right).
Calcule cada termo separadamente.
  • Primeiro termo:
\rho F_{\varphi}=\rho\cdot b\rho^{2}\sin\varphi=b\rho^{3}\sin\varphi,
portanto
\frac{\partial(\rho F_{\varphi})}{\partial\rho}=3b\rho^{2}\sin\varphi.
  • Segundo termo:
\frac{\partial F_{\rho}}{\partial\varphi}=\frac{\partial}{\partial\varphi}\big(a\rho^{2}\cos\varphi\big)=a\rho^{2}(-\sin\varphi)=-a\rho^{2}\sin\varphi.
Substituindo na expressão do z-componente:
(\nabla\times\mathbf{F})_{z}=\frac{1}{\rho}\!\left(3b\rho^{2}\sin\varphi-(-a\rho^{2}\sin\varphi)\right) =\frac{1}{\rho}\big(\rho^{2}\sin\varphi(3b+a)\big).
Simplificando:
(\nabla\times\mathbf{F})_{z}=\rho\sin\varphi\,(3b+a).

Passo 4

Para que a força seja conservativa precisamos de \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}, ou seja todas as componentes do rotacional zeradas. Já vimos que as duas primeiras componentes são identicamente zero; a terceira nos dá a condição
\rho\sin\varphi\,(3b+a)=0
para todos os pontos do domínio (valores de \rho,\varphi). Como não podemos exigir \rho\sin\varphi seja sempre zero para todos os \rho,\varphi (isso só ocorreria em um conjunto muito restrito de pontos), a única forma de garantir que a expressão seja zero em geral é impor
3b+a=0.
Assim
b=-\frac{a}{3}.

Passo 5

Verificação adicional didática (construção explícita de um potencial): para consolidar a ideia, supondo b=-\dfrac{a}{3} podemos tentar encontrar \Phi(\rho,\varphi,z) tal que \mathbf{F}=\nabla\Phi. Integramos
\frac{\partial\Phi}{\partial\rho}=a\rho^{2}\cos\varphi
em \rho, obtendo
\Phi(\rho,\varphi,z)=\frac{a}{3}\rho^{3}\cos\varphi+g(\varphi,z),
onde g é função arbitrária de \varphi e z. Agora impondo a componente azimutal
\frac{1}{\rho}\frac{\partial\Phi}{\partial\varphi}=b\rho^{2}\sin\varphi
e substituindo a expressão anterior, conclui-se que é necessário b=-\dfrac{a}{3} (caso contrário surgiria dependência impossível em \rho). Com b=-\dfrac{a}{3} obtemos \partial g/\partial\varphi=0, ou seja g=h(z). Finalmente impomos a componente z:
\frac{d h}{dz}=2a z^{2}\quad\Rightarrow\quad h(z)=\frac{2a}{3}z^{3}+C.
Portanto um potencial é
\Phi(\rho,\varphi,z)=\frac{a}{3}\rho^{3}\cos\varphi+\frac{2a}{3}z^{3}+C,
confirmando que para b=-\dfrac{a}{3} a força é mesmo gradiente de uma função escalar.

Resposta

b=-\dfrac{a}{3}

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