Uma partícula de massa
se movimenta em três dimensões sob a ação de uma força
, cujas componentes em coordenadas cilíndricas
e
são dadas por
onde
e
são constantes. Determine o valor da constante
, de modo que a força
seja conservativa.
Passo 1
O enunciado dá uma força em coordenadas cilíndricas cujas componentes são
onde
e
são constantes. A pergunta é: determinar o valor da constante
de modo que a força
seja conservativa.
Passo 2
O que significa “força conservativa” (explicação didática): uma força é conservativa se existe uma função escalar (potencial)
tal que
(ou, na outra convenção comum,
; a diferença é só sinal). Uma condição prática e equivalente, quando o domínio é simplesmente conexo, é que o rotacional de
seja nulo:
Agora, na prática, como calcular
em coordenadas cilíndricas? A fórmula (que é conveniente memorizar ou ter à mão) para o rotacional em coordenadas cilíndricas, para
, é
Aqui cada componente é a projeção do rotacional sobre os vetores unitários
. Para ter
todas as três componentes acima devem ser nulas.
Passo 3
Calcular as derivadas necessárias usando as expressões dadas (vou explicitar cada passo das derivadas para ficar bem claro).
Primeiro componente:
Observa-se que
não depende de
, então
. Também
não depende de
, então
. Portanto
Segunda componente:
Aqui
não depende de
, então
. E
porque
não depende de
. Logo
Terceira componente:
Calcule cada termo separadamente.
- Primeiro termo:
portanto
- Segundo termo:
Substituindo na expressão do
-componente:
Simplificando:
Passo 4
Para que a força seja conservativa precisamos de
, ou seja todas as componentes do rotacional zeradas. Já vimos que as duas primeiras componentes são identicamente zero; a terceira nos dá a condição
para todos os pontos do domínio (valores de
). Como não podemos exigir
seja sempre zero para todos os
(isso só ocorreria em um conjunto muito restrito de pontos), a única forma de garantir que a expressão seja zero em geral é impor
Assim
Passo 5
Verificação adicional didática (construção explícita de um potencial): para consolidar a ideia, supondo
podemos tentar encontrar
tal que
. Integramos
em
, obtendo
onde
é função arbitrária de
e
. Agora impondo a componente azimutal
e substituindo a expressão anterior, conclui-se que é necessário
(caso contrário surgiria dependência impossível em
). Com
obtemos
, ou seja
. Finalmente impomos a componente
:
Portanto um potencial é
confirmando que para
a força é mesmo gradiente de uma função escalar.