A soma de três vetores é zero, A, B e C. * Os vetores 13) A e C apontam em sentidos opostos e seus módulos estão relacionados por \mathrm{A}=2 \mathrm{C}. Qual afirmação abaixo é verdadeira?
B e C apontam na mesma direção, mas o
\bigcirc módulode C é duas vezes maior que o módulo de B
\bigcirc B e C têm módulos iguais e apontam em direções opostas
\bigcirc A e B apontam na mesma direção, mas A tem duas vezes o módulo de B
\bigcirc
A e B têm módulos iguais e apontam em direções opostas
\bigcirc
B e C têm módulos iguais e apontam na mesma direção

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que identifiquemos qual afirmação é verdadeira.
  • Temos três vetores cujos somatórios é o vetor nulo:
\vec A + \vec B + \vec C = \vec 0.
  • Diz que \vec A e \vec C apontam em sentidos opostos e que seus módulos estão relacionados por \mathrm{A}=2\mathrm{C}. Interpreto isso como que os módulos satisfazem
|\vec A| = 2\,|\vec C|.
  • As alternativas possíveis são (resumidas): várias relações entre direção e módulo de \vec A,\vec B,\vec C. O objetivo é determinar qual dessas alternativas é verdadeira dado o que foi informado.

Passo 2

Entender o que significa \vec A + \vec B + \vec C = \vec 0.
  • Quando a soma de vetores é o vetor nulo, isso quer dizer que, somando-os como deslocamentos, eles fecham um triângulo (ou estão em equilíbrio): o efeito combinado é nulo.
  • Algebricamente, podemos manipular a igualdade como uma equação vetorial. Isso significa que podemos isolar qualquer vetor em termos dos outros, por exemplo:
\vec B = -(\vec A + \vec C).
Vou usar essa maneira algébrica porque é direta e funciona bem em prova.

Passo 3

Traduzir a informação "A e C apontam em sentidos opostos e |\vec A| = 2|\vec C|" para uma relação vetorial.
  • Se dois vetores apontam em sentidos opostos, então um é múltiplo escalar negativo do outro. Em geral, se \vec u e \vec v têm a mesma direção mas sentidos opostos e |\vec u|=k|\vec v|, então
\vec u = -k\,\vec v.
  • Aplicando isso a \vec A e \vec C, com k=2, obtemos:
\vec A = -2\,\vec C.
Aqui \vec A é o mesmo vetor que -2\vec C: sentido oposto e módulo duas vezes maior.

Passo 4

Substituir essa relação na equação da soma para encontrar \vec B.
  • Partimos de
\vec A + \vec B + \vec C = \vec 0.
  • Substituindo \vec A = -2\vec C na igualdade:
-2\vec C + \vec B + \vec C = \vec 0.
  • Agrupando os termos com \vec C:
\vec B + (-2\vec C + \vec C) = \vec 0
\vec B - \vec C = \vec 0.

Passo 5

Resolver a igualdade e interpretar o resultado.
  • Da última linha temos
\vec B - \vec C = \vec 0 \quad\Rightarrow\quad \vec B = \vec C.
  • Isso significa que \vec B e \vec C são exatamente o mesmo vetor: têm a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo.
  • Um exemplo numérico simples para fixar a ideia: suponha que \vec C tenha módulo 3 e aponte para a direita, então \vec A = -2\vec C é um vetor para a esquerda com módulo 6. Para que \vec A+\vec B+\vec C=\vec 0 seja verdade, \vec B precisa ser igual a \vec C (ou seja, para a direita com módulo 3), porque -6 + 3 + 3 = 0 (somando módulos com os sinais correspondentes na mesma reta).

Resposta

B e C têm módulos iguais e apontam na mesma direção

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