A soma de três vetores é zero,
e
. * Os vetores 13) A e C apontam em sentidos opostos e seus módulos estão relacionados por
. Qual afirmação abaixo é verdadeira?
B e C apontam na mesma direção, mas o
módulode
é duas vezes maior que o módulo de B
B e C têm módulos iguais e apontam em direções opostas
A e B apontam na mesma direção, mas A tem duas vezes o módulo de B
A e B têm módulos iguais e apontam em direções opostas
B e C têm módulos iguais e apontam na mesma direção
A e B têm módulos iguais e apontam em direções opostas
B e C têm módulos iguais e apontam na mesma direção
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que identifiquemos qual afirmação é verdadeira.
- Temos três vetores cujos somatórios é o vetor nulo:
- Diz que
e apontam em sentidos opostos e que seus módulos estão relacionados por . Interpreto isso como que os módulos satisfazem
- As alternativas possíveis são (resumidas): várias relações entre direção e módulo de
. O objetivo é determinar qual dessas alternativas é verdadeira dado o que foi informado.
Passo 2
Entender o que significa
.
- Quando a soma de vetores é o vetor nulo, isso quer dizer que, somando-os como deslocamentos, eles fecham um triângulo (ou estão em equilíbrio): o efeito combinado é nulo.
- Algebricamente, podemos manipular a igualdade como uma equação vetorial. Isso significa que podemos isolar qualquer vetor em termos dos outros, por exemplo:
Vou usar essa maneira algébrica porque é direta e funciona bem em prova.
Passo 3
Traduzir a informação "A e C apontam em sentidos opostos e
" para uma relação vetorial.
- Se dois vetores apontam em sentidos opostos, então um é múltiplo escalar negativo do outro. Em geral, se
e têm a mesma direção mas sentidos opostos e , então
- Aplicando isso a
e , com , obtemos:
Aqui
é o mesmo vetor que
: sentido oposto e módulo duas vezes maior.
Passo 4
Substituir essa relação na equação da soma para encontrar
.
- Partimos de
- Substituindo
na igualdade:
- Agrupando os termos com
:
Passo 5
Resolver a igualdade e interpretar o resultado.
- Da última linha temos
- Isso significa que
e são exatamente o mesmo vetor: têm a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo. - Um exemplo numérico simples para fixar a ideia: suponha que
tenha módulo e aponte para a direita, então é um vetor para a esquerda com módulo . Para que seja verdade, precisa ser igual a (ou seja, para a direita com módulo ), porque (somando módulos com os sinais correspondentes na mesma reta).
Resposta
B e C têm módulos iguais e apontam na mesma direção