Calcule o potencial associado às seguintes forças conservativas:
F=-e^x cos (y) x+e^x sen(y) y-z

Passo 1

O enunciado dá uma força conservativa em R^3,
F = -e^xcos(y),x + e^xsin(y),y - z,
e pede o potencial escalar V(x,y,z) tal que F = -nabla V. Para isso vamos usar as identidades
Fx = -partial Vpartial x, Fy = -partial Vpartial y, Fz = -partial Vpartial z,
integrando cada componente sucessivamente.

Passo 2

Da componente x:
Fx = -e^xcos(y) = -partial Vpartial x Longrightarrow partial Vpartial x = e^xcos(y)
Integramos em x, tratando y,z como constantes:
V(x,y,z) = integral e^xcos(y),dx = e^xcos(y) + f(y,z),
onde f é uma função arbitrária de y e z.

Passo 3

Da componente y:
Fy = e^xsin(y) = -partial Vpartial y
Por outro lado,
partial Vpartial y = partialpartial yl(e^xcos(y)+f(y,z)r) = -,e^xsin(y)+partial fpartial y
Igualando a -Fy:
-,e^xsin(y)+partial fpartial y = -,e^xsin(y) Longrightarrow partial fpartial y = 0,
logo f depende apenas de z: f(y,z)=g(z).

Passo 4

Da componente z:
Fz = -1 = -partial Vpartial z Longrightarrow partial Vpartial z = 1
Como
partial Vpartial z = ddzl(e^xcos(y)+g(z)r) = g'(z),
segue g'(z)=1 e portanto g(z)=z+C, com C constante.

Resposta

V(x,y,z) = e^xcos(y) + z + C,
onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados