Uma partícula de massa m é solta de uma altura h e desliza sobre uma rampa sem atrito até colidir, no fim da trajetória que termina numa superfície horizontal, com a base de um bastão vertical fino e homogêneo, permanecendo grudada à mesma. O bastão gira então por um ângulo theta em torno de um eixo fixo, que o atravessa perpendicularmente em sua outra extremidade, antes de parar momentaneamente. Determine esse ângulo em termos de m, h, e da massa M e comprimento l do bastão, considerando que seu movimento de rotação permaneça no mesmo plano da trajetória inicial da partícula, antes da colisão.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um probleminha de mecânica envolvendo energia e momento angular. O enunciado diz: uma partícula de massa cai de uma altura , escorrega sem atrito e bate, grudando no pé de um bastão fino e homogêneo de massa e comprimento . Esse bastão está preso por um eixo fixo na outra extremidade (ou seja, pivô no topo) e, depois da batida, todo o conjunto gira num plano até parar num ângulo .
Conteúdo:
  • Conservação de energia (antes da colisão e depois, na rotação).
  • Conservação do momento angular (no choque inelástico)
  • Cálculo de momento de inércia de bastão + partícula presa.
O que vamos precisar:
  1. A velocidade da partícula ao chegar na base (energia mgh → ½mv²).
  2. Conservação de momento angular em torno do pivô (m v l = I_total ω).
  3. Momento de inércia do bastão em relação ao pivô: ã, mais o termo de massa pontual .
  4. Energia rotacional inicial ½ I_total ω² vira ganho de energia potencial ao subir até .

Passo 2

Primeiro, aplicamos conservação de energia na descida sem atrito:
m g h = tfrac12,m,v^2 Longrightarrow v = raiz2gh,

Passo 3

No choque, como ele gruda, a energia não se conserva, mas o momento angular em relação ao pivô (no topo do bastão) se conserva.
Momento angular da partícula antes:
Li = m,v,l,
porque o braço de alavanca até o pivô é exatamente .

Passo 4

O momento de inércia total logo após a colisão é a soma de
  • bastão girando em torno de uma extremidade: Irm tot = 13 M l^2 + m,l^2 = l^2l(tfrac13 M + mr) ã,
  • mais a partícula presa no pé do bastão (distância m,v,l = Irm tot,omega Longrightarrow omega = m,v,ll^2l(tfrac13 M + mr) = m,vll(tfrac13 M + mr) do pivô): .
    Logo
Conservando momento angular:

Passo 5

Depois da colisão o conjunto gira com Erm rot = tfrac12,Irm tot,omega^2 e para num ângulo De. A energia rotacional inicial se converte em ganho de energia potencial gravitacional de dois pedaços:
  1. o bastão cuja centro de massa (distância do pivô) sobe de ã,
  2. a partícula (agora presa) sobe .
Energia rotacional inicial:
Energia potencial ganha:

Passo 6

Igualando tfrac12,Irm tot,omega^2 = g,( tfracM l2 + m l ),(1-costheta) :
1-costheta = 6,m^2,hl,(M+3m)(M+2m)
Substituindo e , a conta dá

Resposta

boxed theta ;=;arccos!l[,1 ;-;6,m^2,hl,(M+3m)(M+2m)r]

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