Uma partícula de massa
é solta de uma altura
e desliza sobre uma rampa sem atrito até colidir, no fim da trajetória que termina numa superfície horizontal, com a base de um bastão vertical fino e homogêneo, permanecendo grudada à mesma. O bastão gira então por um ângulo
em torno de um eixo fixo, que o atravessa perpendicularmente em sua outra extremidade, antes de parar momentaneamente. Determine esse ângulo em termos de
, e da massa
e comprimento
do bastão, considerando que seu movimento de rotação permaneça no mesmo plano da trajetória inicial da partícula, antes da colisão.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um probleminha de mecânica envolvendo energia e momento angular. O enunciado diz: uma partícula de massa
cai de uma altura
, escorrega sem atrito e bate, grudando no pé de um bastão fino e homogêneo de massa
e comprimento
. Esse bastão está preso por um eixo fixo na outra extremidade (ou seja, pivô no topo) e, depois da batida, todo o conjunto gira num plano até parar num ângulo
.
Conteúdo:
Conteúdo:
- Conservação de energia (antes da colisão e depois, na rotação).
- Conservação do momento angular (no choque inelástico)
- Cálculo de momento de inércia de bastão + partícula presa.
O que vamos precisar:
- A velocidade da partícula ao chegar na base (energia mgh → ½mv²).
- Conservação de momento angular em torno do pivô (m v l = I_total ω).
- Momento de inércia do bastão em relação ao pivô:
, mais o termo de massa pontual . - Energia rotacional inicial ½ I_total ω² vira ganho de energia potencial ao subir até
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos conservação de energia na descida sem atrito:
Passo 3
No choque, como ele gruda, a energia não se conserva, mas o momento angular em relação ao pivô (no topo do bastão) se conserva.
Momento angular da partícula antes:
Momento angular da partícula antes:
porque o braço de alavanca até o pivô é exatamente
.
Passo 4
O momento de inércia total logo após a colisão é a soma de
- bastão girando em torno de uma extremidade:
, - mais a partícula presa no pé do bastão (distância
do pivô): .
Logo
Conservando momento angular:
Passo 5
Depois da colisão o conjunto gira com
e para num ângulo
. A energia rotacional inicial se converte em ganho de energia potencial gravitacional de dois pedaços:
- o bastão cuja centro de massa (distância
do pivô) sobe de , - a partícula (agora presa) sobe
.
Energia rotacional inicial:
Energia potencial ganha:
Passo 6
Igualando
:
Substituindo
e
, a conta dá