No instante t=0, uma partícula de massa 2,0 kg é localizada pelo vetor posição r0=(4,0 m) i-(2,0 m) j em relação à origem. Sua velocidade é dada por t>0. Em torno da origem e para -2,0 m,-3,0 m, 0, quais são (a) o momento angular da partícula e (b) o torque sobre a mesma? © Repita os itens (a) e (b) para um ponto de coordenadas ( ) ao invés da origem.

Passo 1

Beleza, aqui o que tá rolando: uma partícula de massa vec r0 = (4,0, m),vec i ;-;(2,0, m),vec j ,kg começa em vec v(t)=l(-6,0,t^4,m/sr),vec i ;+;(3,0,m/s),vec j, na posição
e tem velocidade
A gente vai usar dois conceitos:
  1. momento angular ,
  2. torque , onde .
    Precisamos ainda achar integrando a velocidade e achar a aceleração .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar e usar:
  • aceleração: vec rtimesvec A =l(rxAy - ryAxr),vec k, ,
  • força: vec r(t)=vec r0+integral0^tvec v(t'),dt' ,
  • produto vetorial em 2D (só sobra componente x(t)=4 - integral0^t 6t'^4,dt' = 4 - 65,t^5, y(t)=-2 + integral0^t 3,dt' = -2 +3t ):
Também vamos achar a posição integrando a velocidade:
Logo, em componentes:

Passo 3

Agora a aceleração e a força:
vec a(t)=dvec vdt =l(-24,t^3,,0,,0r), vec F(t)=mvec a=2l(-24,t^3,0,0r)=l(-48,t^3,,0,,0r)

Passo 4

(a) Momento angular em relação à origem:
Lz =2l[x(t),vy(t)-y(t),vx(t)r] =2l[3l(4-tfrac65t^5r) -(-2+3t)l(-6t^4r)r] .
Como só sobra boxedvec Lrm orig=(24 -24,t^4 + tfrac1445,t^5),vec k ,
Fazendo as contas dá

Passo 5

(b) Torque em relação à origem:
tauz =x(t),Fy - y(t),Fx =0 -(-2+3t)l(-48,t^3r) =-96,t^3+144,t^4 .
boxedvectaurm orig=(-96,t^3+144,t^4),vec k de novo:
Então

Passo 6

© Para o ponto x'(t)=l(4-tfrac65t^5r)+2, y'(t)=(-2+3t)+3 , trocamos vec L' = m,l(vec r'timesvec vr) = l(36+12,t^4 + tfrac1445,t^5r),vec k, por vectau'=vec r'timesvec F =l(48,t^3+144,t^4r),vec k , ou seja
Refazendo o produto vetorial:

Resposta

(a)
(b)
(c1)
(c2)

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