Duas partículas de massa
e velocidade
viajam em sentidos opostos ao longo de retas paralelas separadas por uma distância d. (a) Em termos de
e
, encontre uma expressão para a magnitude
do momento angular do sistema de duas partículas em torno de um ponto equidistante dessas retas. (b) A expressão se altera se mudarmos o ponto em torno do qual
é calculado? © Inverta o sentido do movimento de uma das partículas e repita os itens (a) e (b).
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: temos duas partículas de massa
que se movem com velocidade
em sentidos opostos, cada uma numa reta paralela. Essas retas estão separadas por uma distância
.
Conteúdo: momento angular de partícula, definição e módulo
.
O que vamos precisar:
Conteúdo: momento angular de partícula, definição
O que vamos precisar:
- Saber que
. - Saber que, como o movimento é perpendicular à reta que liga o ponto de cálculo à reta de movimento,
. - Aplicar
para cada partícula e somar (ou subtrair) conforme a regra da mão direita.
Passo 2
Como o ponto de cálculo está no meio das duas retas, a distância perpendicular de cada partícula a ele é
Para cada partícula, o módulo do momento angular é
Mesmo que as velocidades sejam em sentidos opostos, cada partícula está em um lado diferente do ponto, e a regra da mão direita mostra que os vetores
e
apontam na mesma direção. Logo
Passo 3
E se a gente mudar o ponto de cálculo? Em geral, o momento angular de um sistema depende da escolha do ponto de referência, pois as distâncias perpendiculares
e
mudam. A fórmula geral ficaria
Só permanece
se você continuar escolhendo um ponto que fique equidistante das retas (aí
). Para qualquer outro ponto, os valores de
e
mudam e, com isso, muda o
.
Passo 4
Agora invertemos o sentido de movimento de uma das partículas, mas mantemos o mesmo ponto equidistante. Ainda temos
para cada uma, mas uma delas tem
invertido, então
Elas se cancelam, e
Passo 5
E agora, mudando de novo o ponto de referência? De novo, em geral o valor muda, porque as distâncias
e
vão ser diferentes. A expressão geral é
que só é zero se
, ou seja, ponto equidistante.
Resposta
(a) Para o ponto equidistante:
(b) Em geral muda se você escolher outro ponto (só vale
para pontos equidistantes).
© Com um sentido invertido, para o ponto equidistante:
© Com um sentido invertido, para o ponto equidistante:
(d) Novamente, em geral muda com o ponto, ficando zero somente quando ele for equidistante das retas.