Duas partículas de massa m e velocidade v viajam em sentidos opostos ao longo de retas paralelas separadas por uma distância d. (a) Em termos de m, v e d, encontre uma expressão para a magnitude L do momento angular do sistema de duas partículas em torno de um ponto equidistante dessas retas. (b) A expressão se altera se mudarmos o ponto em torno do qual L é calculado? © Inverta o sentido do movimento de uma das partículas e repita os itens (a) e (b).

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos duas partículas de massa que se movem com velocidade em sentidos opostos, cada uma numa reta paralela. Essas retas estão separadas por uma distância .
Conteúdo: momento angular de partícula, definição e módulo .
O que vamos precisar:
  1. Saber que .
  2. Saber que, como o movimento é perpendicular à reta que liga o ponto de cálculo à reta de movimento, .
  3. Aplicar para cada partícula e somar (ou subtrair) conforme a regra da mão direita.

Passo 2

Como o ponto de cálculo está no meio das duas retas, a distância perpendicular de cada partícula a ele é
r = d2
Para cada partícula, o módulo do momento angular é
Li = r,p = d2,(m,v) = m v d2
Mesmo que as velocidades sejam em sentidos opostos, cada partícula está em um lado diferente do ponto, e a regra da mão direita mostra que os vetores Ltotal = L1 + L2 = m v d2 + m v d2 = m v d e apontam na mesma direção. Logo

Passo 3

E se a gente mudar o ponto de cálculo? Em geral, o momento angular de um sistema depende da escolha do ponto de referência, pois as distâncias perpendiculares Ltotal = m,v,r1 + m,v,r2 e mudam. A fórmula geral ficaria
Só permanece se você continuar escolhendo um ponto que fique equidistante das retas (aí ). Para qualquer outro ponto, os valores de e mudam e, com isso, muda o .

Passo 4

Agora invertemos o sentido de movimento de uma das partículas, mas mantemos o mesmo ponto equidistante. Ainda temos L1 = +m v d2, L2 = -m v d2 para cada uma, mas uma delas tem Ltotal = m v d2 - m v d2 = 0 invertido, então
Elas se cancelam, e

Passo 5

E agora, mudando de novo o ponto de referência? De novo, em geral o valor muda, porque as distâncias Ltotal = m v,r1 - m v,r2 = m v,(r1 - r2), e vão ser diferentes. A expressão geral é
que só é zero se , ou seja, ponto equidistante.

Resposta

(a) Para o ponto equidistante:
L = m,v,d
(b) Em geral muda se você escolher outro ponto (só vale L = 0 para pontos equidistantes).
© Com um sentido invertido, para o ponto equidistante:
(d) Novamente, em geral muda com o ponto, ficando zero somente quando ele for equidistante das retas.

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