- Uma partícula de massa
está suspensa do teto por uma mola de constante elástica
, comprimento relaxado
, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesiano cujo eixo
é orientado verticalmente para baixo, e com origem O no teto. Obtenha:
(d) Considere agora a energia mecânica total do sistema massa-mola para uma dada posição
e descrita no referencial S ,
onde definimos
para a energia potencial gravitacional. Diferencie ambos os membros da expressão acima em relação ao tempo, e obtenha a equação de
Passo 1
O enunciado dá a energia mecânica total do sistema massa-mola no referencial
e pede para diferenciar ambos os membros em relação ao tempo e obter a equação de movimento. As informações relevantes são:
- Energia total:
com
.
- Variáveis e parâmetros:
é a posição vertical da massa medida para baixo, , , é a massa, a constante elástica, o comprimento natural da mola e a aceleração da gravidade. - O que pedir: diferenciar
em relação ao tempo e obter a equação que relaciona , e as constantes do sistema.
Passo 2
Vou diferenciar termo a termo. Primeiro, a derivada temporal do termo cinético
. Use a regra da cadeia / produto: a derivada de
é
. Assim,
Explicando rápido: pensa
. Diferencia
como qualquer potência:
.
Passo 3
Agora a derivada do termo elástico
. Aqui também aplica-se a regra da cadeia: a derivada de
em relação ao tempo é
, porque
(note que
é constante). Portanto,
A intuição: o termo
mede a deformação da mola; sua variação com o tempo multiplica a força elástica
.
Passo 4
Agora a derivada do termo gravitacional
. Como é função linear de
,
Aqui usamos que
e
são constantes e
.
Passo 5
Somando as três derivadas obtidas, a derivada temporal de
é
Fatorando
(que aparece em todos os termos),
Passo 6
Agora uso a conservação da energia mecânica: para o sistema massa-mola sem dissipação,
é constante no tempo, logo
Assim,
Para que essa igualdade seja válida em todos os instantes de tempo da dinâmica (não apenas em instantes isolados com
), o fator entre colchetes deve ser zero. Portanto obtemos a equação de movimento:
Passo 7
Interpretação física e forma alternativa: a equação acima é equivalente a
ou, rearranjando,
Esse resultado coincide com a segunda lei de Newton (
) no eixo para baixo: a força peso
para baixo menos a força elástica
para cima resulta na aceleração.