1. Uma partícula de massa m está suspensa do teto por uma mola de constante elástica k, comprimento relaxado l_{0}, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesiano cujo eixo O z é orientado verticalmente para baixo, e com origem O no teto. Obtenha:
(d) Considere agora a energia mecânica total do sistema massa-mola para uma dada posição z(t) e descrita no referencial S ,
E=\frac{1}{2} m \dot{z}^{2}+\frac{1}{2} k\left(z-l_{0}\right)^{2}-m g z
onde definimos U(z=0)=0 para a energia potencial gravitacional. Diferencie ambos os membros da expressão acima em relação ao tempo, e obtenha a equação de

Passo 1

O enunciado dá a energia mecânica total do sistema massa-mola no referencial S e pede para diferenciar ambos os membros em relação ao tempo e obter a equação de movimento. As informações relevantes são:
  • Energia total:
E=\frac{1}{2}m\dot{z}^{2}+\frac{1}{2}k\left(z-l_{0}\right)^{2}-m g z,
com U(z=0)=0.
  • Variáveis e parâmetros: z(t) é a posição vertical da massa medida para baixo, \dot{z}=\dfrac{dz}{dt}, \ddot{z}=\dfrac{d^{2}z}{dt^{2}}, m é a massa, k a constante elástica, l_{0} o comprimento natural da mola e g a aceleração da gravidade.
  • O que pedir: diferenciar E em relação ao tempo e obter a equação que relaciona \ddot{z}, z e as constantes do sistema.

Passo 2

Vou diferenciar termo a termo. Primeiro, a derivada temporal do termo cinético \dfrac{1}{2}m\dot{z}^{2}. Use a regra da cadeia / produto: a derivada de \dot{z}^{2} é 2\dot{z}\ddot{z}. Assim,
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\dot{z}^{2}\right)=\frac{1}{2}m\cdot 2\dot{z}\ddot{z}=m\dot{z}\ddot{z}.
Explicando rápido: pensa \frac{1}{2}m\dot{z}^{2}=\frac{1}{2}m\cdot(\dot{z})^{2}. Diferencia (\dot{z})^{2} como qualquer potência: 2\dot{z}\cdot\frac{d\dot{z}}{dt}=2\dot{z}\ddot{z}.

Passo 3

Agora a derivada do termo elástico \dfrac{1}{2}k\left(z-l_{0}\right)^{2}. Aqui também aplica-se a regra da cadeia: a derivada de (z-l_{0})^{2} em relação ao tempo é 2(z-l_{0})\dot{z}, porque \dfrac{d}{dt}(z-l_{0})=\dot{z} (note que l_{0} é constante). Portanto,
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}k\left(z-l_{0}\right)^{2}\right)=\frac{1}{2}k\cdot 2\left(z-l_{0}\right)\dot{z}=k\left(z-l_{0}\right)\dot{z}.
A intuição: o termo \left(z-l_{0}\right) mede a deformação da mola; sua variação com o tempo multiplica a força elástica k(z-l_{0}).

Passo 4

Agora a derivada do termo gravitacional -m g z. Como é função linear de z,
\frac{d}{dt}\left(-m g z\right)=-m g \dot{z}.
Aqui usamos que m e g são constantes e \dfrac{d}{dt}z=\dot{z}.

Passo 5

Somando as três derivadas obtidas, a derivada temporal de E é
\frac{dE}{dt}=m\dot{z}\ddot{z}+k\left(z-l_{0}\right)\dot{z}-m g \dot{z}.
Fatorando \dot{z} (que aparece em todos os termos),
\frac{dE}{dt}=\dot{z}\left[m\ddot{z}+k\left(z-l_{0}\right)-m g\right].

Passo 6

Agora uso a conservação da energia mecânica: para o sistema massa-mola sem dissipação, E é constante no tempo, logo
\frac{dE}{dt}=0.
Assim,
\dot{z}\left[m\ddot{z}+k\left(z-l_{0}\right)-m g\right]=0.
Para que essa igualdade seja válida em todos os instantes de tempo da dinâmica (não apenas em instantes isolados com \dot{z}=0), o fator entre colchetes deve ser zero. Portanto obtemos a equação de movimento:
m\ddot{z}+k\left(z-l_{0}\right)-m g=0.

Passo 7

Interpretação física e forma alternativa: a equação acima é equivalente a
m\ddot{z}=m g - k\left(z-l_{0}\right),
ou, rearranjando,
m\ddot{z}+k z = k l_{0}+m g.
Esse resultado coincide com a segunda lei de Newton ( m\ddot{z}=\sum F) no eixo para baixo: a força peso +mg para baixo menos a força elástica k(z-l_{0}) para cima resulta na aceleração.

Resposta

m\ddot{z}+k\left(z-l_{0}\right)-m g=0

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