- Uma partícula de massa
está suspensa do teto por uma mola de constante elástica
, comprimento relaxado
, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesiano cujo eixo
é orientado verticalmente para baixo, e com origem O no teto. Obtenha:
(c) Se a partícula é solta com a mola relaxada e em repouso, obtenha a posição
da partícula em função do tempo
a partir da resolução da equação diferencial do item anterior;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que dá:
- Pede: obter a posição
da partícula em função do tempo quando a partícula é solta com a mola relaxada e em repouso. - Dados fornecidos:
- massa da partícula:
. - constante elástica da mola:
. - comprimento relaxado (comprimento natural) da mola:
. - massa da mola desprezível.
- referencial: eixo
orientado verticalmente para baixo, origem no teto. - condição de soltura: mola relaxada e partícula em repouso no instante inicial. Isso implica as condições iniciais:
-
(a posição inicial medida a partir do teto é o comprimento natural), -
(velocidade inicial nula).
-
- massa da partícula:
- O enunciado diz “a partir da resolução da equação diferencial do item anterior”: portanto usaremos a equação diferencial de movimento para a partícula presa à mola no eixo vertical (segunda lei de Newton aplicada com esse referencial).
Passo 2
Montando a equação do movimento (explicando física e sinais).
- Força peso: aponta para baixo e tem módulo
. Como o eixo é positivo para baixo, a contribuição do peso na equação será . - Força elástica da mola: a mola tem comprimento relaxado
; se a massa está em (distância do teto), a extensão da mola é . A força elástica (tensão) tem módulo e aponta para cima, isto é, no sentido negativo do eixo . Portanto, a contribuição da mola à força total é . - Aplicando a segunda lei de Newton na direção
:
- Reorganizando, obtemos a equação diferencial ordinária não homogênea de segunda ordem:
Passo 3
Interpretação física e busca de solução particular constante.
- Uma solução constante corresponde à posição de equilíbrio estático
, onde . Substituindo na equação:
- Física:
é o ponto em que a força elástica equilibra o peso, ou seja, a mola estica de além do comprimento natural. - Para resolver a ODE, escreveremos a solução geral como soma de uma solução particular (a constante
) e da solução da equação homogênea associada:
Passo 4
Resolver a equação homogênea (oscilador harmônico).
- A equação homogênea associada é
- Dividindo por
:
- Esta é a equação do oscilador harmônico simples. Definindo a velocidade angular natural
a equação fica
, cuja solução geral é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Montar a solução geral e aplicar as condições iniciais (passo a passo).
- A solução geral da ODE não homogênea é
- Condições iniciais (pegas do enunciado):
-
. -
.
-
- Avaliando
:
Como
, segue
- Avaliando
:
Em
:
Como
, e
, obtemos
.
Passo 6
Escrever a solução final e interpretar.
- Substituindo
e na solução geral:
- Substituindo
e , uma forma mais explícita é
- Interpretação física: a partícula executa oscilações harmônicas em torno de
com frequência angular , amplitude (note que a oscilação começa do ponto , que está a uma amplitude abaixo do equilíbrio) e período
- Observação intuitiva: ao soltar a massa com a mola relaxada, a massa cai sob a ação da gravidade e passa pelo ponto de equilíbrio, oscilando simetricamente em torno de
. A presença de apenas desloca o ponto de equilíbrio e determina a amplitude inicial; a dinâmica oscilatória em si é a do oscilador harmônico com frequência .