1. Uma partícula de massa m está suspensa do teto por uma mola de constante elástica k, comprimento relaxado l_{0}, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesiano cujo eixo O z é orientado verticalmente para baixo, e com origem O no teto. Obtenha:
(c) Se a partícula é solta com a mola relaxada e em repouso, obtenha a posição z da partícula em função do tempo t a partir da resolução da equação diferencial do item anterior;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que dá:
  • Pede: obter a posição z da partícula em função do tempo t quando a partícula é solta com a mola relaxada e em repouso.
  • Dados fornecidos:
    • massa da partícula: m.
    • constante elástica da mola: k.
    • comprimento relaxado (comprimento natural) da mola: l_{0}.
    • massa da mola desprezível.
    • referencial: eixo O z orientado verticalmente para baixo, origem O no teto.
    • condição de soltura: mola relaxada e partícula em repouso no instante inicial. Isso implica as condições iniciais:
      • z(0)=l_{0} (a posição inicial medida a partir do teto é o comprimento natural),
      • z'(0)=0 (velocidade inicial nula).
  • O enunciado diz “a partir da resolução da equação diferencial do item anterior”: portanto usaremos a equação diferencial de movimento para a partícula presa à mola no eixo vertical (segunda lei de Newton aplicada com esse referencial).

Passo 2

Montando a equação do movimento (explicando física e sinais).
  • Força peso: aponta para baixo e tem módulo m g. Como o eixo z é positivo para baixo, a contribuição do peso na equação será +m g.
  • Força elástica da mola: a mola tem comprimento relaxado l_{0}; se a massa está em z (distância do teto), a extensão da mola é (z-l_{0}). A força elástica (tensão) tem módulo k(z-l_{0}) e aponta para cima, isto é, no sentido negativo do eixo z. Portanto, a contribuição da mola à força total é -k(z-l_{0}).
  • Aplicando a segunda lei de Newton na direção z:
m\,z''(t)=\text{(força total para baixo)}=m g - k\bigl(z(t)-l_{0}\bigr).ç
  • Reorganizando, obtemos a equação diferencial ordinária não homogênea de segunda ordem:
m\,z''(t)+k\,z(t)=m g + k l_{0}.

Passo 3

Interpretação física e busca de solução particular constante.
  • Uma solução constante corresponde à posição de equilíbrio estático z_{\mathrm{eq}}, onde z''=0. Substituindo na equação:
k\,z_{\mathrm{eq}}=m g + k l_{0}\quad\Longrightarrow\quad z_{\mathrm{eq}}=l_{0}+\frac{m g}{k}.
  • Física: z_{\mathrm{eq}} é o ponto em que a força elástica equilibra o peso, ou seja, a mola estica de m g/k além do comprimento natural.
  • Para resolver a ODE, escreveremos a solução geral como soma de uma solução particular (a constante z_{\mathrm{eq}}) e da solução da equação homogênea associada:
z(t)=z_{\mathrm{eq}}+z_{h}(t).

Passo 4

Resolver a equação homogênea (oscilador harmônico).
  • A equação homogênea associada é
m\,z_{h}''(t)+k\,z_{h}(t)=0.
  • Dividindo por m:
z_{h}''(t)+\frac{k}{m}\,z_{h}(t)=0.
  • Esta é a equação do oscilador harmônico simples. Definindo a velocidade angular natural
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},
a equação fica z_{h}''+\omega^{2} z_{h}=0, cuja solução geral é
z_{h}(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Montar a solução geral e aplicar as condições iniciais (passo a passo).
  • A solução geral da ODE não homogênea é
z(t)=z_{\mathrm{eq}}+A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t).
  • Condições iniciais (pegas do enunciado):
    • z(0)=l_{0}.
    • z'(0)=0.
  • Avaliando z(0):
z(0)=z_{\mathrm{eq}}+A\cos(0)+B\sin(0)=z_{\mathrm{eq}}+A.
Como z(0)=l_{0}, segue
A=l_{0}-z_{\mathrm{eq}}=l_{0}-\Bigl(l_{0}+\frac{m g}{k}\Bigr)=-\frac{m g}{k}.
  • Avaliando z'(t):
z'(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t).
Em t=0:
z'(0)=B\omega.
Como z'(0)=0, e \omega>0, obtemos B=0.

Passo 6

Escrever a solução final e interpretar.
  • Substituindo A e B na solução geral:
z(t)=z_{\mathrm{eq}}-\frac{m g}{k}\cos(\omega t).
  • Substituindo z_{\mathrm{eq}}=l_{0}+\dfrac{m g}{k} e \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}, uma forma mais explícita é
z(t)=l_{0}+\frac{m g}{k}\Bigl(1-\cos\bigl(\sqrt{\tfrac{k}{m}}\,t\bigr)\Bigr).
  • Interpretação física: a partícula executa oscilações harmônicas em torno de z_{\mathrm{eq}} com frequência angular \omega=\sqrt{k/m}, amplitude \dfrac{m g}{k} (note que a oscilação começa do ponto l_{0}, que está a uma amplitude abaixo do equilíbrio) e período
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
  • Observação intuitiva: ao soltar a massa com a mola relaxada, a massa cai sob a ação da gravidade e passa pelo ponto de equilíbrio, oscilando simetricamente em torno de z_{\mathrm{eq}}. A presença de g apenas desloca o ponto de equilíbrio e determina a amplitude inicial; a dinâmica oscilatória em si é a do oscilador harmônico com frequência \sqrt{k/m}.

Resposta

z(t)=l_{0}+\frac{m g}{k}\Bigl(1-\cos\bigl(\sqrt{\tfrac{k}{m}}\,t\bigr)\Bigr).

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