Uma partícula de massa
tem seu movimento restrito ao plano
e está sujeita ao potencial
, onde
, e
são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo
. Nesta questāo, faça
e
.
Calcule a Hamiltoniana
do sistema;
Calcule a Hamiltoniana
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de Mecânica Clássica, mais especificamente sobre Hamiltoniana de um sistema. Precisamos calcular a Hamiltoniana $ H $ de uma partícula com movimento restrito ao plano $ xy $, sujeita a um potencial $ V® $ e a uma restrição angular $ \varphi = \omega_0 t $. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares, energia cinética e potencial, além de aplicar as condições dadas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Hamiltoniana $ H $ de um sistema é a soma da energia cinética $ T $ e da energia potencial $ V $:
No nosso caso, a partícula está se movendo no plano $ xy $ usando coordenadas polares $ {r, \varphi} $. A energia cinética em coordenadas polares é dada por:
Aqui, $ m $ é a massa da partícula, $ \dot{r} $ é a velocidade radial e $ \dot{\varphi} $ é a velocidade angular.
Passo 3
Agora, vamos considerar a energia potencial fornecida no enunciado:
Onde $ k > 0 $, $ \bar{\omega} > 0 $, e $ r_0 > 0 $ são constantes.
Passo 4
Além disso, temos uma restrição angular: $ \varphi = \omega_0 t $. Isso significa que a velocidade angular $ \dot{\varphi} $ é constante e igual a $ \omega_0 $:
Com isso, podemos substituir $ \dot{\varphi} $ na expressão da energia cinética:
Passo 5
Agora, vamos expressar a Hamiltoniana $ H $ no formato:
Vamos combinar os termos que envolvem $ r^2 $:
Passo 6
O enunciado também nos dá que $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ e $ \bar{\omega}^2 = \omega^2 - \omega_0^2 $. Vamos substituir $ \omega^2 $ por $ \frac{k}{m} $:
Podemos reorganizar isso para obter:
Mas como $ \bar{\omega}^2 = \omega^2 - \omega_0^2 $, temos $ \omega^2 = \bar{\omega}^2 + \omega_0^2 $. Substituindo:
Isso simplifica a Hamiltoniana para:
Resposta
A Hamiltoniana do sistema é: