Uma partícula de massa m tem seu movimento restrito ao plano xy e está sujeita ao potencial V(r)=k r^2 / 2-m baromega^2 r0 r, onde k>0, baromega>0, r0>0, e r, varphi são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo varphi=omega0 t. Nesta questāo, faça omega= raizk / m e baromega^2=omega^2-omega0^2>0.
Calcule a Hamiltoniana H do sistema;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de Mecânica Clássica, mais especificamente sobre Hamiltoniana de um sistema. Precisamos calcular a Hamiltoniana $ H $ de uma partícula com movimento restrito ao plano $ xy $, sujeita a um potencial $ V® $ e a uma restrição angular $ \varphi = \omega_0 t $. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares, energia cinética e potencial, além de aplicar as condições dadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Hamiltoniana $ H $ de um sistema é a soma da energia cinética $ T $ e da energia potencial $ V $:
H
No nosso caso, a partícula está se movendo no plano $ xy $ usando coordenadas polares $ {r, \varphi} $. A energia cinética em coordenadas polares é dada por:
T
Aqui, $ m $ é a massa da partícula, $ \dot{r} $ é a velocidade radial e $ \dot{\varphi} $ é a velocidade angular.

Passo 3

Agora, vamos considerar a energia potencial fornecida no enunciado:
V(r) = k r^22 - m baromega^2 r0 r
Onde $ k > 0 $, $ \bar{\omega} > 0 $, e $ r_0 > 0 $ são constantes.

Passo 4

Além disso, temos uma restrição angular: $ \varphi = \omega_0 t $. Isso significa que a velocidade angular $ \dot{\varphi} $ é constante e igual a $ \omega_0 $:
varphi = omega0 t
Com isso, podemos substituir $ \dot{\varphi} $ na expressão da energia cinética:
dotvarphi

Passo 5

Agora, vamos expressar a Hamiltoniana $ H $ no formato:
H
Vamos combinar os termos que envolvem $ r^2 $:
H = T + V = 12 m dotr^2 + 12 m r^2 omega0^2 + k r^22 - m baromega^2 r0 r

Passo 6

O enunciado também nos dá que $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ e $ \bar{\omega}^2 = \omega^2 - \omega_0^2 $. Vamos substituir $ \omega^2 $ por $ \frac{k}{m} $:
omega = raizkm
Podemos reorganizar isso para obter:
baromega^2 = omega^2 - omega0^2
Mas como $ \bar{\omega}^2 = \omega^2 - \omega_0^2 $, temos $ \omega^2 = \bar{\omega}^2 + \omega_0^2 $. Substituindo:
omega^2
Isso simplifica a Hamiltoniana para:
km

Resposta

A Hamiltoniana do sistema é:
H = 12 m dotr^2 + 12 m baromega^2 r^2 - m baromega^2 r0 r

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