Uma partícula de massa
tem seu movimento restrito ao plano
e está sujeita ao potencial
, onde
, e
são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo
. Nesta questāo, faça
e
.
Usando que
é a componente
do momento angular, calcule a componente
da força de vínculo
;
Usando que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ que se move no plano $ xy $ e está sujeita a um potencial $ V® = \frac{k r^{2}}{2} - m \bar{\omega}^{2} r_{0} r $. Além disso, a partícula tem uma restrição: o ângulo $ \varphi $ varia no tempo como $ \varphi = \omega_{0} t $. Nosso objetivo aqui é calcular a componente $ \varphi $ da força de vínculo $ F_{\varphi} $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica em coordenadas polares, momento angular e forças de restrição. Vamos passo a passo para não complicar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o movimento em coordenadas polares. Em coordenadas $ {r, \varphi} $, a posição da partícula é descrita pela distância $ r $ ao centro e pelo ângulo $ \varphi $. As velocidades nessas coordenadas são $ \dot{r} $ e $ \dot{\varphi} $.
A componente $ z $ do momento angular é dada por:
Isso significa que o momento angular depende de quão rápido a partícula está girando (representado por $ \dot{\varphi} $) e da distância ao centro $ r $.
Passo 3
Agora, vamos considerar a restrição imposta na partícula: $ \varphi = \omega_{0} t $. Isso implica que a velocidade angular $ \dot{\varphi} $ é constante e igual a $ \omega_{0} $:
Com isso, podemos substituir na expressão do momento angular:
Passo 4
Vamos agora analisar o potencial fornecido:
Esse potencial tem duas partes: uma que depende de $ r^{2} $ e outra que depende de $ r $. A constante $ k $ é positiva, o que indica uma força restauradora, e $ \bar{\omega} $ também é positiva, conforme dado.
Também nos foi dado que:
Isso nos ajuda a relacionar as frequências angulares envolvidas no sistema.
Passo 5
Para encontrar a força de vínculo $ F_{\varphi} $, vamos usar a segunda lei de Newton nas coordenadas polares. A força resultante na direção $ \varphi $ pode ser escrita como:
Mas como $ \varphi = \omega_{0} t $, temos $ \ddot{\varphi} = 0 $ e $ \dot{\varphi} = \omega_{0} $. Portanto:
Passo 6
No entanto, precisamos considerar que a partícula está sujeita a um potencial $ V® $. A força derivada desse potencial na direção $ r $ é:
Essa é a força radial que atua na partícula.
Passo 7
Agora, relacionando as forças, sabemos que a força de vínculo na direção $ \varphi $ precisa compensar quaisquer componentes que não estão balanceadas pelas outras forças. Na ausência de outras forças externas, a única contribuição vem do momento angular.
Portanto, a força de vínculo $ F_{\varphi} $ é necessária para manter a condição $ \varphi = \omega_{0} t $, garantindo que a velocidade angular seja constante.
Passo 8
Com base nisso, e considerando que as outras forças estão equilibradas, podemos concluir que a componente $ \varphi $ da força de vínculo é:
Resposta
A componente $ \varphi $ da força de vínculo é: