Uma partícula de massa m tem seu movimento restrito ao plano xy e está sujeita ao potencial V(r)=k r^2 / 2-m baromega^2 r0 r, onde k>0, baromega>0, r0>0, e r, varphi são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo varphi=omega0 t. Nesta questāo, faça omega= raizk / m e baromega^2=omega^2-omega0^2>0.
Usando que Lz=m r^2 dotvarphi é a componente z do momento angular, calcule a componente varphi da força de vínculo Fvarphi;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ que se move no plano $ xy $ e está sujeita a um potencial $ V® = \frac{k r^{2}}{2} - m \bar{\omega}^{2} r_{0} r $. Além disso, a partícula tem uma restrição: o ângulo $ \varphi $ varia no tempo como $ \varphi = \omega_{0} t $. Nosso objetivo aqui é calcular a componente $ \varphi $ da força de vínculo $ F_{\varphi} $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica em coordenadas polares, momento angular e forças de restrição. Vamos passo a passo para não complicar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o movimento em coordenadas polares. Em coordenadas $ {r, \varphi} $, a posição da partícula é descrita pela distância $ r $ ao centro e pelo ângulo $ \varphi $. As velocidades nessas coordenadas são $ \dot{r} $ e $ \dot{\varphi} $.
A componente $ z $ do momento angular é dada por:
r, varphi
Isso significa que o momento angular depende de quão rápido a partícula está girando (representado por $ \dot{\varphi} $) e da distância ao centro $ r $.

Passo 3

Agora, vamos considerar a restrição imposta na partícula: $ \varphi = \omega_{0} t $. Isso implica que a velocidade angular $ \dot{\varphi} $ é constante e igual a $ \omega_{0} $:
varphi = omega0 t
Com isso, podemos substituir na expressão do momento angular:
dotvarphi

Passo 4

Vamos agora analisar o potencial fornecido:
V(r) = k r^22 - m baromega^2 r0 r
Esse potencial tem duas partes: uma que depende de $ r^{2} $ e outra que depende de $ r $. A constante $ k $ é positiva, o que indica uma força restauradora, e $ \bar{\omega} $ também é positiva, conforme dado.
Também nos foi dado que:
r^2
Isso nos ajuda a relacionar as frequências angulares envolvidas no sistema.

Passo 5

Para encontrar a força de vínculo $ F_{\varphi} $, vamos usar a segunda lei de Newton nas coordenadas polares. A força resultante na direção $ \varphi $ pode ser escrita como:
Fvarphi
Mas como $ \varphi = \omega_{0} t $, temos $ \ddot{\varphi} = 0 $ e $ \dot{\varphi} = \omega_{0} $. Portanto:
varphi

Passo 6

No entanto, precisamos considerar que a partícula está sujeita a um potencial $ V® $. A força derivada desse potencial na direção $ r $ é:
V(r)
Essa é a força radial que atua na partícula.

Passo 7

Agora, relacionando as forças, sabemos que a força de vínculo na direção $ \varphi $ precisa compensar quaisquer componentes que não estão balanceadas pelas outras forças. Na ausência de outras forças externas, a única contribuição vem do momento angular.
Portanto, a força de vínculo $ F_{\varphi} $ é necessária para manter a condição $ \varphi = \omega_{0} t $, garantindo que a velocidade angular seja constante.

Passo 8

Com base nisso, e considerando que as outras forças estão equilibradas, podemos concluir que a componente $ \varphi $ da força de vínculo é:
varphi

Resposta

A componente $ \varphi $ da força de vínculo é:
varphi

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