Uma partícula de massa
tem seu movimento restrito ao plano
e está sujeita ao potencial
, onde
, e
são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo
. Nesta questāo, faça
e
.
Mostre que
;
Mostre que
Passo 1
Vamos lá! Temos uma partícula de massa $ m $ se movendo no plano $ xy $ e sujeita a um potencial dado por $ V® = \frac{k r^{2}}{2} - m \bar{\omega}^{2} r_{0} r $. Além disso, a partícula está presa a um movimento angular com $ \varphi = \omega_{0} t $. Nosso objetivo é mostrar que a derivada temporal do Hamiltoniano $ H $ é igual a $ \omega_{0} r F_{\varphi} $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica clássica, como o Hamiltoniano, forças derivadas de potenciais e a aplicação de coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Hamiltoniano $ H $ representa a energia total do sistema, que é a soma da energia cinética $ T $ e da energia potencial $ V $:
Como a partícula está se movendo no plano $ xy $ com coordenadas polares $ (r, \varphi) $, a energia cinética em coordenadas polares é dada por:
onde $ \dot{r} $ é a velocidade radial e $ \dot{\varphi} $ é a velocidade angular.
Passo 3
Agora, substituímos o potencial $ V® $ na expressão do Hamiltoniano:
Nosso próximo passo é derivar o Hamiltoniano em relação ao tempo para encontrar $ \frac{dH}{dt} $.
Passo 4
Aplicando a derivada temporal ao Hamiltoniano:
Observamos que $ \frac{dH}{dt} $ envolve termos relacionados às forças e movimentos da partícula.
Passo 5
Sabemos que a força angular $ F_{\varphi} $ está relacionada ao torque e pode ser expressa como:
Substituindo $ \varphi = \omega_{0} t $, então $ \dot{\varphi} = \omega_{0} $ e $ \ddot{\varphi} = 0 $. Portanto:
Passo 6
Agora, analisamos a derivada temporal do Hamiltoniano:
Isso mostra a relação entre a variação temporal da energia total do sistema e a força angular exercida sobre a partícula, multiplicada pela frequência $ \omega_{0} $ e pela coordenada radial $ r $.
Resposta
Assim, demonstramos que: