Uma partícula de massa
tem seu movimento restrito ao plano
e está sujeita ao potencial
, onde
, e
são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo
. Nesta questāo, faça
e
.
Resolva para
usando que
e
;
Resolva para
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa
que se move no plano
sob o potencial
e ainda existe o vínculo
. A gente define
O objetivo é encontrar
com as condições iniciais
e
.
Conteúdo envolvido: equação de movimento em coordenadas polares (ou Newton ) e solução de EDO de oscilador harmônico forçado. Vamos precisar montar a equação para
e depois resolver essa EDO.
Conteúdo envolvido: equação de movimento em coordenadas polares (ou Newton
Passo 2
Primeiro, bora achar a equação de movimento radial.
- Energia cinética em polares:
Como
, temos
. Então
- A força radial
vem de mais o efeito do termo centrífugo . Calculando
Somando a força centrífuga
, a soma dá
- Agora aplicamos
. Como , fica
Dividindo por
:
Passo 3
A equação
é uma EDO de oscilador harmônico forçado por uma constante. A gente sabe que a solução geral é
onde
-
é uma solução particular estacionária. Se a forçante é constante , tenta . -
resolve , cuja solução é
Logo a solução geral fica
Passo 4
Agora ajustamos
e
com as condições iniciais:
- Em
:
Logo
- A derivada é
Em
:
Portanto
Resposta
com
.