Uma partícula de massa m tem seu movimento restrito ao plano xy e está sujeita ao potencial V(r)=k r^2 / 2-m baromega^2 r0 r, onde k>0, baromega>0, r0>0, e r, varphi são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo varphi=omega0 t. Nesta questāo, faça omega= raizk / m e baromega^2=omega^2-omega0^2>0.
Resolva para r=r(t) usando que r(0)=3 r0 / 2 e dotr(0)=0;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa V(r) = k,r^22 ;-; m,baromega^2,r0,r, que se move no plano omega = raizkm, baromega^2 = omega^2-omega0^2 > 0 sob o potencial
e ainda existe o vínculo . A gente define
O objetivo é encontrar com as condições iniciais e .
Conteúdo envolvido: equação de movimento em coordenadas polares (ou Newton ) e solução de EDO de oscilador harmônico forçado. Vamos precisar montar a equação para e depois resolver essa EDO.

Passo 2

Primeiro, bora achar a equação de movimento radial.
  1. Energia cinética em polares:
T = tfrac12,ml(dot r^2 + r^2dotvarphi^2r)
Como T = tfrac12,ml(dot r^2 + r^2omega0^2r) , temos -dVdr = -l(k,r - m,baromega^2,r0r) = -k,r + m,baromega^2,r0 . Então
Fr = m,r,omega0^2 - k,r + m,baromega^2,r0
  1. A força radial m,ddot r = m,r,omega0^2 - m,omega^2,r + m,baromega^2,r0 = -ml(omega^2-omega0^2r),(r - r0) = -m,baromega^2(r - r0) vem de ddot r + baromega^2,(r - r0) = 0 Longrightarrow ddot r + baromega^2,r = baromega^2,r0 mais o efeito do termo centrífugo . Calculando
Somando a força centrífuga , a soma dá
  1. Agora aplicamos . Como , fica
Dividindo por :

Passo 3

A equação
ddot r + baromega^2,r = baromega^2,r0
é uma EDO de oscilador harmônico forçado por uma constante. A gente sabe que a solução geral é
r(t) = rpart + rhom,
onde
  • r(t) = r0 + Acos(baromega t) + Bsin(baromega t) é uma solução particular estacionária. Se a forçante é constante , tenta .
  • resolve , cuja solução é
Logo a solução geral fica

Passo 4

Agora ajustamos r(0)=tfrac3r02 = r0 + Acos0 + Bsin0 = r0 + A e dot r(t) = -A,baromegasin(baromega t) + B,baromegacos(baromega t) com as condições iniciais:
  1. Em dot r(0)=0 = -A,baromegacdot0 + B,baromegacdot1 ;Longrightarrow; B=0 :
r(t) = r0 + r02cos(baromega t)
Logo
  1. A derivada é
Em :
Portanto

Resposta

boxedr(t) = r0,l(1 + tfrac12cos(baromega,t)r),
com .

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