Uma partícula de massa
tem seu movimento restrito ao plano
e está sujeita ao potencial
, onde
, e
são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo
. Nesta questāo, faça
e
.
Esboce os gráficos de
e
para um período de oscilação
e interprete o que está acontecendo com a energia do sistema.
Esboce os gráficos de
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é mexer com mecânica clássica de uma partícula presa ao plano polar, sujeita a um potencial radial
e com a restrição
1) Montar o Lagrangeano e aplicar Euler–Lagrange para
2) Reconhecer que sai uma EDO de oscilador harmônico deslocado.
3) Resolver para
4) Calcular a força de reação no ângulo
5) Esboçar
Passo 2
Escrevendo o Lagrangeano em polares e usando
:
Agora aplicamos Euler–Lagrange em
:
Ou seja
Como
, temos
. Logo
É a equação de um oscilador harmônico deslocado por
.
Passo 3
A solução geral da EDO
é
onde
e
vêm de condições iniciais. Se quisermos simplificar e escolher
:
Isso mostra um movimento oscilatório de amplitude
ao redor do ponto de equilíbrio
.
Passo 4
Agora a força de restrição em
. No Lagrangeano, como
não é coordenada livre, a força de vínculo
vem de
Logo
Substituindo
e
:
que é a soma de termos em
e
.
Passo 5
Esboço em um período
:
- r(t): uma cossenoide de média
e amplitude . - F₍φ₎(t): função sinusoidal mais vilizinhas de frequência
(e um segundo harmônico em ), mudando de sinal sempre que muda de sinal.
Energia:
- A energia mecânica total (cinética radial + potencial efetivo + cinética azimutal) é conservada se não houver atrito.
- O “trabalho” da força de vínculo oscila, mas em média num ciclo completo não injeta nem retira energia (
). - Internamente, a energia pula entre cinética radial e potencial elástico em cada oscilação.
Resposta
r(t)=r₀ + A cos(𝜔̄ t)
F₍φ₎(t)=2m ω₀ r(t)·ṙ(t)=−2m ω₀ A ω̄ [r₀ + A cos(𝜔̄ t)] sin(𝜔̄ t)
A energia oscila entre cinética e potencial sem variação líquida num ciclo.
F₍φ₎(t)=2m ω₀ r(t)·ṙ(t)=−2m ω₀ A ω̄ [r₀ + A cos(𝜔̄ t)] sin(𝜔̄ t)
A energia oscila entre cinética e potencial sem variação líquida num ciclo.