Uma partícula de massa m tem seu movimento restrito ao plano xy e está sujeita ao potencial V(r)=k r^2 / 2-m baromega^2 r0 r, onde k>0, baromega>0, r0>0, e r, varphi são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo varphi=omega0 t. Nesta questāo, faça omega= raizk / m e baromega^2=omega^2-omega0^2>0.
Esboce os gráficos de r(t) e Fvarphi(t) para um período de oscilação 2pi / baromega e interprete o que está acontecendo com a energia do sistema.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é mexer com mecânica clássica de uma partícula presa ao plano polar, sujeita a um potencial radial
V(r)=k,r^22-m,baromega^2,r0,r
e com a restrição . A matéria envolvida é Lagrangeanos em coordenadas polares, força centrífuga e equação de oscilador harmônico. Para resolver precisamos:
1) Montar o Lagrangeano e aplicar Euler–Lagrange para .
2) Reconhecer que sai uma EDO de oscilador harmônico deslocado.
3) Resolver para .
4) Calcular a força de reação no ângulo .
5) Esboçar , e falar da energia.

Passo 2

Escrevendo o Lagrangeano em polares e usando L=12ml(dot r^2+r^2omega0^2r)-l(12k,r^2-mbaromega^2r0,rr) :
ddtl(mdot rr)-l(mromega0^2-k,r+mbaromega^2r0r)=0
Agora aplicamos Euler–Lagrange em mddot r +l(k-momega0^2r)r -mbaromega^2r0=0 :
ddot r +baromega^2,r = baromega^2,r0
Ou seja
Como , temos . Logo
É a equação de um oscilador harmônico deslocado por .

Passo 3

A solução geral da EDO
ddot r +baromega^2(r-r0)=0
é
r(t)=r0 + Acos!l(baromega t+phir),,
onde boxedr(t)=r0 + Acos(baromega t), e vêm de condições iniciais. Se quisermos simplificar e escolher :
Isso mostra um movimento oscilatório de amplitude ao redor do ponto de equilíbrio .

Passo 4

Agora a força de restrição em Qvarphi =ddtpartial Lpartialdotvarphi -partial Lpartialvarphi =ddtl(m,r^2omega0r) =2m,r,dot r,omega0 . No Lagrangeano, como boxedFvarphi(t)=2m,omega0,r(t),dot r(t) não é coordenada livre, a força de vínculo Fvarphi(t) =2m,omega0l[r0 + Acos(baromega t)r]l(-Abaromegasin(baromega t)r), vem de
Logo
Substituindo e :
que é a soma de termos em e .

Passo 5

Esboço em um período :
  1. r(t): uma cossenoide de média e amplitude .
  2. F₍φ₎(t): função sinusoidal mais vilizinhas de frequência (e um segundo harmônico em ), mudando de sinal sempre que muda de sinal.
Energia:
  • A energia mecânica total (cinética radial + potencial efetivo + cinética azimutal) é conservada se não houver atrito.
  • O “trabalho” da força de vínculo oscila, mas em média num ciclo completo não injeta nem retira energia ( ).
  • Internamente, a energia pula entre cinética radial e potencial elástico em cada oscilação.

Resposta

r(t)=r₀ + A cos(𝜔̄ t)
F₍φ₎(t)=2m ω₀ r(t)·ṙ(t)=−2m ω₀ A ω̄ [r₀ + A cos(𝜔̄ t)] sin(𝜔̄ t)
A energia oscila entre cinética e potencial sem variação líquida num ciclo.

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