Uma partícula 1 de massa m_{1} e velocidade de magnitude \left\|\vec{v}_{1 i}\right\| sofre uma colisão unidimensional com uma partícula 2 de massa m_{2}, a qual está inicialmente em repouso. Qual a magnitude do impulso na partícula 1 se esta colisão é elástica? E se a colisão é completamente inelástica?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a magnitude do impulso na partícula 1 em duas situações: colisão elástica unidimensional e colisão completamente inelástica (as partículas ficam presas).
Informações dadas (pegar os símbolos do enunciado):
  • Massa da partícula 1: m_{1}.
  • Massa da partícula 2: m_{2}.
  • Velocidade inicial da partícula 1 (módulo): \left\|\vec{v}_{1i}\right\|. Para simplificar a notação vou chamar isso de \,v_{1i}\, e tomar essa velocidade como positiva na direção do movimento.
  • Partícula 2 está inicialmente em repouso: v_{2i}=0.
  • Movimento unidimensional (tudo ao longo de uma reta).
    O que se busca:
  • A magnitude do impulso sofrido pela partícula 1 em cada caso.

Passo 2

Definição e estratégia de cálculo (a peça-chave que vamos usar várias vezes).
  • Impulso \vec{J} é definido como a variação do momento linear:
\vec{J}=\Delta\vec{p}=\vec{p}_\text{f}-\vec{p}_\text{i}.
  • Como estamos em 1D, podemos trabalhar com sinais. Para a partícula 1:
J = m_{1}v_{1f}-m_{1}v_{1i}=m_{1}(v_{1f}-v_{1i}),
onde v_{1f} é a velocidade final da partícula 1 (com sinal).
  • A pergunta pede a magnitude do impulso, então no final vamos tomar |J|=m_{1}\,|v_{1f}-v_{1i}|.
  • Logo, o plano: determinar v_{1f} em cada tipo de colisão (usando as leis de conservação apropriadas) e então calcular |J|.

Passo 3

Colisão elástica — leis que valem:
  • Conservação do momento linear:
m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}v_{2f}.
Como v_{2i}=0, isso vira
m_{1}v_{1i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}v_{2f}. \tag{1}
  • Conservação da energia cinética (porque é elástica):
\frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2i}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2}.
Com v_{2i}=0, multiplico por 2 para simplificar:
m_{1}v_{1i}^{2}=m_{1}v_{1f}^{2}+m_{2}v_{2f}^{2}. \tag{2}

Passo 4

Truque algébrico útil (derivando a relação de velocidade relativa):
  • Subtraindo (2) de maneira fatorada: escrevo (2) como
m_{1}(v_{1i}^{2}-v_{1f}^{2})=m_{2}v_{2f}^{2}.
Fatorando os quadrados:
m_{1}(v_{1i}-v_{1f})(v_{1i}+v_{1f})=m_{2}(v_{2f}-v_{2i})(v_{2f}+v_{2i}).
Mas v_{2i}=0, então
m_{1}(v_{1i}-v_{1f})(v_{1i}+v_{1f})=m_{2}v_{2f}(v_{2f}).
  • Agora a equação de momento (1) pode ser rearranjada como
m_{1}(v_{1i}-v_{1f})=m_{2}v_{2f}. \tag{3}
  • Dividindo a expressão de energia fatorada pela equação (3) (ou usando as duas simultaneamente) obtém-se cancelamento de m_{1}(v_{1i}-v_{1f}), resultando em
v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}+v_{2i}.
Como v_{2i}=0,
v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}. \tag{4}
  • Reescrevendo (4):
v_{2f}=v_{1i}+v_{1f}.

Passo 5

Encontrar v_{1f} usando (1) e (4):
  • Substituo v_{2f}=v_{1i}+v_{1f} na equação de momento (1):
m_{1}v_{1i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}(v_{1i}+v_{1f}).
  • Agrupando termos:
m_{1}v_{1i}= (m_{1}+m_{2})v_{1f}+m_{2}v_{1i}.
  • Levo o termo com v_{1i} para o lado esquerdo:
m_{1}v_{1i}-m_{2}v_{1i}=(m_{1}+m_{2})v_{1f}.
  • Fatorando v_{1i}:
(m_{1}-m_{2})v_{1i}=(m_{1}+m_{2})v_{1f}.
  • Logo:
v_{1f}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}. \tag{5}

Passo 6

Calcular o impulso na partícula 1 no caso elástico:
  • Impulso (com sinal):
J_{\text{el}}=m_{1}(v_{1f}-v_{1i}).
  • Substituo v_{1f} de (5):
v_{1f}-v_{1i}=\left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}-1\right)v_{1i} =\left(\frac{m_{1}-m_{2}-m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)v_{1i} =\left(\frac{-2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)v_{1i}.
  • Então
J_{\text{el}}=m_{1}\left(\frac{-2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)v_{1i} =-\frac{2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}.
  • A magnitude do impulso (tirando o sinal) é
\boxed{|J_{\text{el}}|=\frac{2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}.}

Passo 7

Colisão completamente inelástica (as massas ficam presas) — usar só conservação do momento:
  • Depois da colisão as duas massas movem-se com uma velocidade comum v_{f}. Conservação do momento:
m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=(m_{1}+m_{2})v_{f}.
Como v_{2i}=0,
m_{1}v_{1i}=(m_{1}+m_{2})v_{f}.
  • Logo a velocidade final comum é
v_{f}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}. \tag{6}

Passo 8

Calcular o impulso na partícula 1 no caso completamente inelástico:
  • Impulso (com sinal):
J_{\text{inel}}=m_{1}(v_{f}-v_{1i}).
  • Substituindo v_{f} de (6):
v_{f}-v_{1i}=\left(\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}-1\right)v_{1i} =\left(\frac{m_{1}-m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)v_{1i} =\left(\frac{-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)v_{1i}.
  • Então
J_{\text{inel}}=m_{1}\left(\frac{-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)v_{1i} =-\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}.
  • A magnitude do impulso é
\boxed{|J_{\text{inel}}|=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}.}

Resposta

|J_{\text{el}}|=\dfrac{2\,m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}\newline
|J_{\text{inel}}|=\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}

Exercícios relacionados