( 4,5 pontos) Um mol de um gás monoatômico tem uma pressão inicial P_{1}=2 \mathrm{~atm} e um volume inicial \mathrm{V}_{1}=5 \mathrm{~L}. O gás é submetido ao seguinte ciclo quase-estático, i) uma expansão isobárica até o volume \mathrm{V}_{2}=8 \mathrm{~L}., ii) um resfriamento a volume constante até atingir ao pressão \mathrm{P}_{3}, iii) uma compressão isotérmica até voltar ao seu estado inicial.
(a) Mostre o ciclo em um diagrama PV.
(b) Determine as temperaturas \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}, \mathrm{e} \mathrm{T}_{3}, assim como a pressão \mathrm{P}_{3}.
(c) Calcule o calor transferido, o trabalho realizado e a variação de energia interna do gás durante cada parte do ciclo e durante o ciclo completo.
(d) Se um ciclo demora 3 segundo, qual é a potência da máquina, e qual é a sua eficiência.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Um mol do gás monoatômico: n=1.
  • Pressão inicial: P_{1}=2\\ \text{atm}.
  • Volume inicial: V_{1}=5\\ \text{L}.
  • Expansão isobárica até V_{2}=8\\ \text{L} (logo P_{2}=P_{1}).
  • Resfriamento a volume constante até a pressão P_{3} (ou seja, V_{3}=V_{2}=8\\ \text{L}).
  • Compressão isotérmica que retorna ao estado inicial (P_{1},V_{1}).
  • Ciclo demora 3\\ \text{s}.
O enunciado pede:
(a) mostrar o ciclo em diagrama P\!-\!V (descrever a forma do caminho);
(b) determinar T_{1},T_{2},T_{3} e P_{3};
(c) calcular, para cada etapa e para o ciclo todo, o calor Q, o trabalho W (positivo se realizado pelo gás) e a variação da energia interna \Delta U;
(d) calcular a potência (se o ciclo demora 3\\ \text{s}) e a eficiência da máquina.
Observações úteis que usarei (não estou resolvendo ainda, apenas listando as ferramentas que aparecerão nas contas):
  • Lei dos gases ideais: \displaystyle P V = n R T, com R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}.
  • Para gás monoatômico ideal: C_{V}=\dfrac{3}{2}R e C_{P}=C_{V}+R=\dfrac{5}{2}R.
  • Energia interna: \displaystyle U=\dfrac{3}{2}nRT e \displaystyle \Delta U=\dfrac{3}{2}nR\Delta T.
  • Primeira lei: \displaystyle \Delta U = Q - W (com W trabalho realizado pelo gás).
  • Trabalho:
    • Processo isobárico: \displaystyle W = P\Delta V.
    • Processo isocórico: \displaystyle W=0.
    • Processo isotérmico (ideal): \displaystyle W = nRT\ln\!\left(\dfrac{V_{f}}{V_{i}}\right) (positivo se V_{f}>V_{i}).

Passo 2

Converto unidades para SI e calculo temperaturas e P_{3} usando a lei dos gases:
Conversões:
1\\ \text{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\qquad 1\\ \text{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
Então
P_{1}=2\\ \text{atm}=2{,}026\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
V_{1}=5\\ \text{L}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}, \qquad V_{2}=V_{3}=8\\ \text{L}=8{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
Uso P V = n R T com n=1 para obter as temperaturas:
T_{1}=\dfrac{P_{1}V_{1}}{nR}=\dfrac{(2{,}026\times10^{5})(5{,}0\times10^{-3})}{8{,}314}.
Calculo intermediário: P_{1}V_{1}=(2{,}026\times10^{5})\cdot(5{,}0\times10^{-3})=1{,}013\!\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
Logo
T_{1}=\dfrac{1{,}013\times10^{3}}{8{,}314}\approx121{,}9\\ \mathrm{K}.
Como P_{2}=P_{1} e V_{2}=8{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},
T_{2}=\dfrac{P_{2}V_{2}}{nR}=\dfrac{(2{,}026\times10^{5})(8{,}0\times10^{-3})}{8{,}314}
P_{2}V_{2}=2{,}026\times10^{5}\cdot8{,}0\times10^{-3}=1{,}620{,}8\\ \mathrm{J},
T_{2}=\dfrac{1{,}620{,}8}{8{,}314}\approx194{,}9\\ \mathrm{K}.
O resfriamento a volume constante leva T_{2} a T_{3}. Como a etapa (iii) é isotérmica e retorna ao estado (P_{1},V_{1}), a temperatura do estado 3 deve ser igual à de 1:
T_{3}=T_{1}=121{,}9\\ \mathrm{K}.
Usando P\propto T (a V constante), encontramos P_{3}:
P_{3}=P_{2}\dfrac{T_{3}}{T_{2}}=P_{1}\dfrac{T_{1}}{T_{2}}.
Como T_{1}/T_{2}=V_{1}/V_{2} (alternativa direta), obtém-se em atm:
P_{3}=P_{1}\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=2\\ \text{atm}\cdot\dfrac{5}{8}=1{,}25\\ \text{atm}.
Em pascal:
P_{3}=1{,}25\times1{,}013\times10^{5}=1{,}266\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Etapa (i) — expansão isobárica 1\to2.
Fórmulas e raciocínio:
  • Trabalho realizado pelo gás: \displaystyle W_{12}=P_{1}(V_{2}-V_{1}).
  • Variação de energia interna: \displaystyle \Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}nR(T_{2}-T_{1}).
  • Calor: pela primeira lei \,Q_{12}=\Delta U_{12}+W_{12}. Também pode-se usar Q_{12}=nC_{P}(T_{2}-T_{1}) com C_{P}=\dfrac{5}{2}R.
Cálculos numéricos:
\Delta V = V_{2}-V_{1} = (8{,}0-5{,}0)\times10^{-3}=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
W_{12}=P_{1}\Delta V=(2{,}026\times10^{5})(3{,}0\times10^{-3})=607{,}8\\ \mathrm{J}.
\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}\cdot1\cdot8{,}314\cdot(T_{2}-T_{1}) =\dfrac{3}{2}\cdot8{,}314\cdot(194{,}9-121{,}9).
T_{2}-T_{1}=73{,}0\\ \mathrm{K}\quad\Rightarrow\quad \Delta U_{12}=1{,}5\cdot8{,}314\cdot73{,}0\approx911{,}9\\ \mathrm{J}.
Q_{12}=\Delta U_{12}+W_{12}=911{,}9+607{,}8=1{,}519{,}7\\ \mathrm{J}.
Interpretação: calor positivo (entrou no gás), trabalho positivo (gás realizou trabalho).

Passo 4

Etapa (ii) — resfriamento isocórico 2\to3 (volume constante V_{2}=V_{3}).
Fórmulas e raciocínio:
  • Trabalho: \displaystyle W_{23}=0 (volume não varia).
  • Variação de energia interna: \displaystyle \Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}nR(T_{3}-T_{2}).
  • Calor: \displaystyle Q_{23}=\Delta U_{23}.
Cálculos:
T_{3}-T_{2}=121{,}9-194{,}9=-73{,}0\\ \mathrm{K}.
\Delta U_{23}=1{,}5\cdot8{,}314\cdot(-73{,}0)\approx-911{,}9\\ \mathrm{J}.
W_{23}=0,\qquad Q_{23}=\Delta U_{23}\approx-911{,}9\\ \mathrm{J}.
Interpretação: energia interna diminuiu; calor negativo (foi retirado do gás).

Passo 5

Etapa (iii) — compressão isotérmica 3\to1 à temperatura T_{1}=T_{3}.
Fórmulas e raciocínio para processo isotérmico de gás ideal:
  • \Delta U_{31}=0 porque U depende apenas de T e T é constante.
  • Trabalho realizado pelo gás: \displaystyle W_{31}=nR T_{1}\ln\!\left(\dfrac{V_{1}}{V_{3}}\right).
  • Pela primeira lei: Q_{31}=\Delta U_{31}+W_{31}=W_{31}.
Cálculos:
nR T_{1}=P_{1}V_{1}=1{,}013\times10^{3}\\ \mathrm{J}\\ \text{(já calculado)}.á
\ln\!\left(\dfrac{V_{1}}{V_{3}}\right)=\ln\!\left(\dfrac{5}{8}\right)=\ln(0{,}625)\approx-0{,}4700.
W_{31}=(1{,}013\times10^{3})\cdot(-0{,}4700)\approx-476{,}1\\ \mathrm{J}.
\Delta U_{31}=0,\qquad Q_{31}=W_{31}\approx-476{,}1\\ \mathrm{J}.
Interpretação: W_{31}<0 significa que, durante a compressão isotérmica, o trabalho é realizado sobre o gás (o gás recebe trabalho). Heat também negativo: calor sai do gás.

Passo 6

Somatórios para o ciclo completo e checagem da primeira lei.
Soma dos trabalhos:
W_{\text{ciclo}}=W_{12}+W_{23}+W_{31}=607{,}8+0-476{,}1\approx131{,}7\\ \mathrm{J}.
Soma das variações de energia interna:
\Delta U_{\text{ciclo}}=\Delta U_{12}+\Delta U_{23}+\Delta U_{31}=911{,}9-911{,}9+0=0\\ \mathrm{J},
o que era esperado para um ciclo que retorna ao mesmo estado.
Soma dos calores:
Q_{\text{ciclo}}=Q_{12}+Q_{23}+Q_{31}=1{,}519{,}7-911{,}9-476{,}1\approx131{,}7\\ \mathrm{J},
conferindo \Delta U_{\text{ciclo}}=Q_{\text{ciclo}}-W_{\text{ciclo}}=0.

Passo 7

Potência e eficiência (pedido (d)).
  • Potência média: \displaystyle P_{\text{média}}=\dfrac{W_{\text{ciclo}}}{\Delta t}=\dfrac{131{,}7\\ \mathrm{J}}{3\\ \mathrm{s}}\approx43{,}9\\ \mathrm{W}.é
  • Eficiência: somente o calor positivo é considerado calor absorvido ( Q_{\text{in}}). Aqui Q_{12}=1{,}519{,}7\\ \mathrm{J} é o único termo positivo, os outros são negativos (saída de calor). Então
\eta=\dfrac{W_{\text{ciclo}}}{Q_{\text{in}}}=\dfrac{131{,}7}{1{,}519{,}7}\approx0{,}0867\approx8{,}67\%.
Interpretação: motor converteu cerca de 8{,}7\% do calor absorvido em trabalho útil.

Resposta

(a) No diagrama P\!-\!V: caminho horizontal isobárico de (V_{1}=5\\ \text{L},P_{1}=2\\ \text{atm}) até (V_{2}=8\\ \text{L},P_{2}=2\\ \text{atm}); depois segmento vertical para baixo (isocórico) em V=8\\ \text{L} até P_{3}=1{,}25\\ \text{atm}; finalmente isoterma (curva PV=const) retornando de (8\\ \text{L},1{,}25\\ \text{atm}) a (5\\ \text{L},2\\ \text{atm}).
(b) \;T_{1}=121{,}9\\ \mathrm{K},\quad T_{2}=194{,}9\\ \mathrm{K},\quad T_{3}=121{,}9\\ \mathrm{K};\quad P_{3}=1{,}25\\ \text{atm}=1{,}266\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
(c) Etapas:
  • 1\to2 (isobárica): \;W_{12}=607{,}8\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_{12}=911{,}9\\ \mathrm{J},\quad Q_{12}=1{,}519{,}7\\ \mathrm{J}.
  • 2\to3 (isocórica): \;W_{23}=0\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_{23}=-911{,}9\\ \mathrm{J},\quad Q_{23}=-911{,}9\\ \mathrm{J}.
  • 3\to1 (isotérmica): \;W_{31}=-476{,}1\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_{31}=0\\ \mathrm{J},\quad Q_{31}=-476{,}1\\ \mathrm{J}.
    Ciclo completo:
    \;W_{\text{ciclo}}=131{,}7\\ \mathrm{J},\quad Q_{\text{ciclo}}=131{,}7\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_{\text{ciclo}}=0\\ \mathrm{J}.
(d) Potência média: \;P_{\text{média}}=43{,}9\\ \mathrm{W}.é Eficiência: \;\eta=8{,}67\% (aprox.).

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