( 4,5 pontos) Um mol de um gás monoatômico tem uma pressão inicial
e um volume inicial
. O gás é submetido ao seguinte ciclo quase-estático, i) uma expansão isobárica até o volume
., ii) um resfriamento a volume constante até atingir ao pressão
, iii) uma compressão isotérmica até voltar ao seu estado inicial.
(a) Mostre o ciclo em um diagrama PV.
(b) Determine as temperaturas
, assim como a pressão
.
(c) Calcule o calor transferido, o trabalho realizado e a variação de energia interna do gás durante cada parte do ciclo e durante o ciclo completo.
(d) Se um ciclo demora 3 segundo, qual é a potência da máquina, e qual é a sua eficiência.
(a) Mostre o ciclo em um diagrama PV.
(b) Determine as temperaturas
(c) Calcule o calor transferido, o trabalho realizado e a variação de energia interna do gás durante cada parte do ciclo e durante o ciclo completo.
(d) Se um ciclo demora 3 segundo, qual é a potência da máquina, e qual é a sua eficiência.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
- Um mol do gás monoatômico:
. - Pressão inicial:
. - Volume inicial:
. - Expansão isobárica até
(logo ). - Resfriamento a volume constante até a pressão
(ou seja, ). - Compressão isotérmica que retorna ao estado inicial
. - Ciclo demora
.
O enunciado pede:
(a) mostrar o ciclo em diagrama (descrever a forma do caminho);
(b) determinar e
;
(c) calcular, para cada etapa e para o ciclo todo, o calor , o trabalho
(positivo se realizado pelo gás) e a variação da energia interna
;
(d) calcular a potência (se o ciclo demora ) e a eficiência da máquina.
(a) mostrar o ciclo em diagrama
(b) determinar
(c) calcular, para cada etapa e para o ciclo todo, o calor
(d) calcular a potência (se o ciclo demora
Observações úteis que usarei (não estou resolvendo ainda, apenas listando as ferramentas que aparecerão nas contas):
- Lei dos gases ideais:
, com . - Para gás monoatômico ideal:
e . - Energia interna:
e . - Primeira lei:
(com trabalho realizado pelo gás). - Trabalho:
- Processo isobárico:
. - Processo isocórico:
. - Processo isotérmico (ideal):
(positivo se ).
- Processo isobárico:
Passo 2
Converto unidades para SI e calculo temperaturas e
usando a lei dos gases:
Conversões:
Então
Uso
com
para obter as temperaturas:
Calculo intermediário:
.
Logo
Logo
Como
e
,
O resfriamento a volume constante leva
a
. Como a etapa (iii) é isotérmica e retorna ao estado
, a temperatura do estado 3 deve ser igual à de 1:
Usando
(a
constante), encontramos
:
Como
(alternativa direta), obtém-se em atm:
Em pascal:
Passo 3
Etapa (i) — expansão isobárica
.
Fórmulas e raciocínio:
- Trabalho realizado pelo gás:
. - Variação de energia interna:
. - Calor: pela primeira lei
. Também pode-se usar com .
Cálculos numéricos:
Interpretação: calor positivo (entrou no gás), trabalho positivo (gás realizou trabalho).
Passo 4
Etapa (ii) — resfriamento isocórico
(volume constante
).
Fórmulas e raciocínio:
- Trabalho:
(volume não varia). - Variação de energia interna:
. - Calor:
.
Cálculos:
Interpretação: energia interna diminuiu; calor negativo (foi retirado do gás).
Passo 5
Etapa (iii) — compressão isotérmica
à temperatura
.
Fórmulas e raciocínio para processo isotérmico de gás ideal:
-
porque depende apenas de e é constante. - Trabalho realizado pelo gás:
. - Pela primeira lei:
.
Cálculos:
Interpretação:
significa que, durante a compressão isotérmica, o trabalho é realizado sobre o gás (o gás recebe trabalho). Heat também negativo: calor sai do gás.
Passo 6
Somatórios para o ciclo completo e checagem da primeira lei.
Soma dos trabalhos:
Soma das variações de energia interna:
o que era esperado para um ciclo que retorna ao mesmo estado.
Soma dos calores:
conferindo
.
Passo 7
Potência e eficiência (pedido (d)).
-
Potência média:
-
Eficiência: somente o calor positivo é considerado calor absorvido (
). Aqui é o único termo positivo, os outros são negativos (saída de calor). Então
Interpretação: motor converteu cerca de
do calor absorvido em trabalho útil.
Resposta
(a) No diagrama
: caminho horizontal isobárico de
até
; depois segmento vertical para baixo (isocórico) em
até
; finalmente isoterma (curva
const) retornando de
a
.
(b)
(c) Etapas:
-
(isobárica): -
(isocórica): -
(isotérmica):
Ciclo completo:
(d) Potência média:
Eficiência:
(aprox.).